HP 40g, 39g User Manual [de]
Exakte Berechnungen
und
Mathematik
mit HP40G
Version 1.0
Renée de Graeve
Außerordentlicher Professor in Grenobel I
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Danksagung
Alle wußten, daß es unmöglich ist, allein ein leistungsfähiges Programm für
exakte Berechnungen zu bilden … nur der aufgeklärte Bernard Parisse wußte
dies nicht … und dachte gleich so ein Programm aus!
Sie haben vor sich sein Programm für exakte Berechnungen (das so genannte
ERABLE), das schon das zweite Mal die Software eines H P Taschenrechners
bildet.
Bernard Parisse hat das Pr ogramm soweit verändert, daß die Funktionen der
exakten Berechnungen editiert und die Ergebnisse im Editor der Gleichungen
angezeigt werden konnten.
Entdecken Sie die Fähigkeiten dieses Rechners während des Lesens dieses
Handbuches.
Ich danke:
Bernard Parisse für seine wertvollen Ratschläge, Anmerkungen zu diesem
·
Text, für die Korrektur und dafür, daß er so fr eundlich war, die von uns
geforderten Funktionen wirksam z u beschreiben.
Jean Tavenas für das Interesse, das er bei der Beendigung dieses
·
Handbuches gezeigt hat.
Jean Yves Avenard dafür, daß er unseren Bitten zugehört hat und daß er
·
sehr schlagfe rtig die Anweisung PROMPT beschrieben hat.
© 2000 Renée De Graeve, degraeve@fourier.ujf-grenoble.fr
Dieses Handbuch darf nur für Studien - und wissen scha ftliche Zwecke in
elektronischer Form oder in Buchform kopiert, übersetzt und distribuiert
werden. Ohne schriftlicher Zustimmung des Rechtsinhabers zu Copyright ist es
verboten, das Handbuch für kommerziellen Zwecke zu benutzen. Dieses
Handbuch wird unter gege bener Sachlage ohne Gewähr geliefert. Der
Rechtsinhab er zu Cop yri ght haftet nicht für Schäden, verursacht durc h die
Verwendung dieses Handbuches. Für seinen Inhalt trä gt weder die Gesellschaft
Hewlett-Packard noch deren Distributionspartner Verantwortung.
2 Danksagung
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Vorwort
Der Rechner HP 40G bedeutet eine neue Etappe in der Arbeit mit den exakten
Berechnungen. Einerseits durch seinen Konkurrenzpreis, andererseits durch die
Möglichkeiten, wie man die Grundalgorithmen, die im Mathematikunterricht
an französischen Obersc hulen und in den ersten Studienjahren der Hochschulen
unterrichtet werden, berechnet.
Notwendig war jedoch, dazu noch eine Dokumentation zu bearbeiten, am
besten aus der Feder eines Mannes, der Mathematik unterrichtet. Sie finden das
Ergebnis in diesem Handbuch, erstellt durch Renée De Graeve,
außerordentlicher Professor an der Université de Grenoble I und führende
Persönlichkeit am IREM de Grenoble. Das Handbuch beinhaltet die gesamten
Hinweise auf die Funktionen der exakten Berechnungen, es wird jedoch auch
durch ausgewählte Beispiele aus den Abitur und Bakkalaureusprüfungen
gezeigt, wie man intelligent die Berechnungsmöglichkeiten dieses Rechners
ausnutzen kann. Zum Schluß widmet er sich in zwei Kapiteln der
Programmierung: im dem ersten Kapitel erfahren Sie, wie man programmiert.
Im zweite Kapitel werden die Algorithmen beschrieben, die in einem spezielle n
arithmetischen Programm der letzten, Studienjahre an den französischen
Oberschulen benutzt werden.
Inhalt 3
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Inhalt
1 Zu Beginn 13
1.1 Allgemeine Informationen 13
1.1.1 Start 13
1.1.2 Was sieht man? 13
1.2 Bezeichnung 15
1.2.1 Hilfe 15
2 Aplets 17
2.1 Taste APLET 17
2.2 Verschiedene Aplets 17
2.3 Beispiele mit Benutzung von Aplet Sequence 19
2.4 Tasten SYMB NUMB PLOT 22
3 Tastatur und CAS 23
3.1 Taste CAS auf der Leiste 23
3.2 Leiste des Editors der Gleichungen 24
3.3 Tasten und Editor der Gleichungen 25
3.3.1 Taste MATH 25
3.3.2 Taste SHIFT MATH (CMDS) 26
3.3.3 Taste VARS 26
3.3.4 Taste SHIFT 2 (SYNTAX) 27
3.3.5 Taste HOME 27
3.3.6 Taste SHIFT SYMB 28
3.3.7 Taste SHIFT 28
3.3.8 Taste PLOT 29
3.3.9 Taste NUM 29
3.3.10 Taste VIEWS 30
3.3.11 Tastenabkürzungen 30
3.4 CAS nach HOME 30
3.4.1 PUSH 31
3.4.2 POP 31
3.5 Tastatur Aus Dem Fenster Home 31
3.5.1 Taste MATH 31
3.5.2 Die Taste SHIFT F6 31
3.5.3 Taste SHIFT 2 (SYNTAX) 32
3.5.4 Taste SHIFT 1 (PROGRAMM) 33
Inhalt 5
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
4 Ausdruckssatz der Leiste CAS 35
4.1 Editor der Gleichungen 35
4.1.1 Zutritt zum Editor der Gleichungen 35
4.1.2 Wie verläuft die Eingabe ? 35
4.1.3 Wie ändert man den Ausdruck 40
4.1.4 Betriebsart Cursor 41
4.1.5 Möglichkeit einer gesamten Darstellung 41
4.2 Benutzung der Funktionen CAS 42
4.2.1 Wie schreibt man XQG
4.2.2 Wie schreibt man infixe Funktionen 43
4.2.3 Wie schreibt man präfixe Funktionen 44
S
42
4.3 Variablen 47
4.3.1 STO
4.3.2 STORE 48
4.3.3 Vordefinierte Variablen der Leiste CAS 48
>
47
5 Funktion der exakten Berechnungen 51
5.1 Leiste CAS 51
5.1.1 CFG 51
5.1.2 TOOL 52
5.1.3 ALGB 52
5.1.4 DIFF 53
5.1.5 Taste MATH 53
5.1.6 REWRITE 54
5.1.7 SOLVER 54
5.1.8 TRIGO 55
5.2 Modus „Schritt für Schritt“ 55
5.3 Normale Schreibweise 56
5.3.1 DEF 56
5.4 Ganze Zahlen (und Gauß-Ganzzahlen) 57
5.4.1 DIVIS 58
5.4.2 EULER 58
5.4.3 FACTOR 58
5.4.4 GCD 59
5.4.5 IEGCD 59
5.4.6 IQUOT 60
5.4.7 IREMAINDER MOD 60
5.4.8 ISPRIME? 61
5.4.9 LCM 62
5.4.10 NEXTPRIME 62
6 Inhalt
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
5.4.11 PREVPRIME 62
5.5 Modulare Berechnungen 62
5.5.1 ADDTMOD 63
5.5.2 DIVMOD 63
5.5.3 EXPANDMOD 63
5.5.4 FACTORMOD 64
5.5.5 GCDMOD 64
5.5.6 INVMOD 64
5.5.7 MODSTO 64
5.5.8 MULTMOD 65
5.5.9 POWMOD 65
5.5.10 SUBTMOD 65
5.6 Rationale Zahlen 65
5.6.1 PROPFRAC 66
5.7 Reelle Zahlen 67
5.7.1 FLOOR 67
5.7.2 MOD 67
5.8 Komplexe Zahlen 68
5.8.1 ARG 69
5.8.2 CONJ 69
5.8.3 DROITE 70
5.9 Algebraische Ausdrücke 70
5.9.1 COLLECT 70
5.9.2 EXPAND 71
5.9.3 FACTOR 71
5.9.4 72
5.9.5 SUBST 72
5.10 Polynome 72
5.10.1 DEGREE 73
5.10.2 EGCD 73
5.10.3 FACTOR 73
5.10.4 GCD 74
5.10.5 HERMITE 74
5.10.6 LCM 75
5.10.7 LEGENDRE 75
5.10.8 PARTFRAC 76
5.10.9 PROPFRAC 76
5.10.10 PTAYL 77
5.10.11 QUOT 77
5.10.12 REMAINDER 78
5.10.13 TCHEBYCHEFF 78
Inhalt 7
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
5.11 FUNKTION 79
5.11.1 DEF 79
5.11.2 IFTE 80
5.11.3 DERVX 80
5.11.4 DERIV 81
5.11.5 TABVAR 82
5.11.6 FOURIER 82
5.11.7 IBP 83
5.11.8 INTVX 84
5.11.9 LIMIT 86
5.11.10 LIMIT und 87
5.11.11 PREVAL 88
5.11.12 RISCH 88
5.12 Limitierte Und Asymptonische Entwicklungen 88
5.12.1 DIVPC 89
5.12.2 LIMIT 89
5.12.3 SERIE 90
5.12.4 TAYLOR0 93
5.12.5 TRUNC 93
5.13 Funktion Konvertierung (Wertumformung) 94
5.13.1 DISTRIB 94
5.13.2 EPSX0 94
5.13.3 EXP2POW 95
5.13.4 EXPLN 95
5.13.5 FDISTRIB 95
5.13.6 LIN 96
5.13.7 LNCOLLECT 96
5.13.8 POWEXPAND 97
5.13.9 SIMPLIFY 97
5.13.10 XNUM 97
5.13.11 XQ 98
5.14 GLEICHUNGEN 98
5.14.1 ISOLATE 98
5.14.2 SOLVEVX 99
5.14.3 SOLVE 99
5.15 Lineare Systeme 100
5.15.1 LINSOLVE 100
5.16 Differentialgleichungen 102
5.16.1 DESOLVE und SUBST 102
5.16.2 LDEC 103
5.17 Trigonometrische Ausdrücke 103
8 Inhalt
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
5.17.1 ACOS2S 103
5.17.2 ASIN2C 104
5.17.3 ASIN2T 104
5.17.4 ATAN2S 105
5.17.5 HALFTAN 105
5.17.6 SINCOS 106
5.17.7 TAN2CS2 106
5.17.8 TAN2SC 107
5.17.9 TAN2SC2 107
5.17.10 TCOLLECT 108
5.17.11 TEXPAND 108
5.17.12 TLIN 109
5.17.13 TRIG 109
5.17.14 TRIGCOS 110
5.17.15 TRIGSIN 110
5.17.16 TRIGTAN 110
6 Lösen von Aufgaben mit dem Rechner HP 40
6.1 Einleitung 111
6.2 Beispiele bei einer Bakkalaureusprüfung 112
6.2.1 Beispiel 1 112
6.2.2 Beispiel 2 113
6.2.3 Beispiel 3 114
6.2.4 Beispiel 4 115
6.2.5 Beispiel 116
6.3 Beispiele bei dem Abitur 118
6.3.1 Beispiel 1 118
6.3.2 Beispiel 2 (Sonderbeispiel) 124
6.3.3 Beispiel 3 (Sonderbeispiel) 129
6.4 Schlußbemerkung 134
111
7 Programmieren 135
7.1 Implementierung 135
7.1.1 Wie man Programme aufruft und speichert 135
7.1.2 Wie repariert man ein Programm 135
7.1.3 Wie wird mit den Programmen gearbeitet? 135
7.1.4 Wie ändert man ein Programm 136
7.2 Kommentare 136
7.3 Variablen 137
Inhalt 9
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
7.3.1 Namen 137
7.3.2 Kenntnis der lokalen Variablen 137
7.3.3 Kenntnis der Parameter 137
7.4 Eingaben 137
7.4.1 Erläuterung im Algorithmus 137
7.4.2 Erläuterung HP40G 137
7.5 Ausgaben 138
7.5.1 Erläuterung der Algorithmen 138
7.5.2 Erläuterung HP40G 138
7.6 Folge der Instruktionen bzw. Aktion 138
7.6.1 Erläuterung in der Algorithmik 138
7.6.2 Erläuterung HP40G 138
7.7 Instruktion der Zuordnung 138
7.7.1 Erläuterung in der Algorithmik 138
7.7.2 Erläuterung HP40G 139
7.8 Bedingte Instruktionen IF … THEN … ELSE 139
7.8.1 Erläuterung in der Algorithmik 139
7.8.2 Erläuterung HP40G 139
7.9 Instruktion For (für) 139
7.9.1 Erläuterung in der Algorithmik 139
7.9.2 Erläuterung HP40G 139
7.10 Instruktion WHILE … REPEAT 140
7.10.1 Erläuterung in der Algorithmik 140
7.10.2 Erläuterung HP40G 140
7.11 Boolensche Ausdrücke 140
7.11.1 Erläuterung in der Algorithmik 140
7.11.2 Erläuterung HP40G 140
7.12 Logische Operatoren 140
7.12.1 Erläuterung in der Algorithmik 140
7.12.2 Erläuterung HP40G 140
7.13 Listen (Reihen) 141
7.13.1 Erläuterung in der Algorithmen 141
7.13.2 Erläuterung HP40G 141
7.14 Beispiel: Eratosthenesgitter (Tabelle) 142
7.14.1 Beschreibung 142
7.14.2 Schreiben der Algorithmen 142
7.14.3 Erläuterung HP40G 144
8 Arithmetische Programme 147
8.1 P GCD Euklids Algorithmus 147
10 Inhalt
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
8.1.1 Algorithmische Erläuterung 147
8.1.2 Erläuterung HP40G 148
8.2 Bezogst Identität mit Hilfe des euklidischen
Algorithmus. 151
8.2.1 Iteration – nochmalige Version mit Reihen 152
8.2.2 Erläuterung HP40G 153
8.2.3 Rekursive Versionen mit Hilfe von Registern 154
8.2.4 Rekursive Versionen ohne Register 155
8.2.5 Interpretation HP40G 155
8.3 Verteilung auf Primfaktoren 157
8.3.1 Algorithmen und deren Erläuterung 157
8.3.2 Erläuterung HP40G 160
8.4 Berechnung AP mod N 161
8.4.1 Algorithmische Erläuterung 161
8.4.2 Erläuterung HP4OG 163
8.5 Funktion Ist-eine-Primzahl 164
8.5.1 Algorithmische Erläuterung 164
8.5.2 Erläuterung HP40G 166
8.6 Wahrscheinlichkeitsmethode des Herrn Rabin 167
8.6.1 Algorithmische Übersetzung 168
8.6.2 Übersetzung (Erläuterung) HP40G 169
9 GNU Free Documentation License 171
Stichwortverzeichnis 179
Inhalt 11
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
1 Zu Beginn
1.1 Allgemeine Informationen
1.1.1 Start
Durch das Dr ücken der T aste ON befinden Sie sich im Fenster
Im Arbeitsmodus lösc ht die Taste ON die gerade durchgeführt e Operation: sie
hat die Funktion
Das Ausschalten des Rechners wird durc h das Drücken der Taste
danach
ON (OFF)
CANCEL.
durchgeführt.
HOME
SHIFT
.
und
1.1.2 Was sieht man?
Von oben nach unten:
1. das Fenster HOME
a. den Rechnerstatus
b. eine Waagerechte
c. eine Leiste mit Anweisungen
2. eine Tastatur
Fenster
1.a Der Rechnerst atus beschre i bt den zugänglichen Mod us im Fenster HOME:
RAD oder DEG oder GRD je nach dem, ob in Radianten oder in Grad
·
gearbeitet wird.
{FUNCTION} kennzeichnet den Namen Aplet, dieser Name wird mit
·
Hilfe von:
Aplet Function
gewählt.
EH]HLFKQHWGDGHUQDFKREHQJHULFKWHWH3IHLO&XUVRUHLQH
·
chronologische Griffübersichtanzeige ermöglicht.
1.b Waagerechte:
Über der Waagerechten befindet sich, die im Fenster HOME durchgeführte
Berechnungsübersicht.
Prinzip: im Fenster wird die gewünschte Berechnung links und das Ergebnis
rechts gesc hrieben.
Zu Beginn 13
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Unter der Waagerechten befindet sich die Anweisungszeile.
Mit Hilfe des Pfeiles (Cursor), der nach oben gerichtet ist, ist es möglich in die
Übersicht zu gelangen und durch die Anweisung
COPY
in der Leiste, den
vorhergehenden Ausdruck oder das Ergebnis in die Anweisungszeile zu
kopieren.
1.c Leiste:
Die Anweisungen auf der Leiste werden durch 6 graue (Funktions-)Tasten
ohne Benennung betäti gt. Diese Tasten werden folgend benannt:
F1 F2 F3 F4 F5 F6.
Die Leiste kann Register mit Befehlsdateien beinhalten. Sie sind bestimmbar.
Die Anweisung auf der Leiste wird durch das Drücken der zuständigen
Funktionstaste
Fi
aktiviert.
Im Fenster
STO
HOME
beinhaltet die Leiste zwei Anweisungen:
ermöglicht einen bestimmten Wert auf eine Variable zu übertragen
(speichern) und
CAS
ermöglicht den Editor der Gleichungen (Computer Algebra System) für
exakte Berechnungen zu öffnen.
2 Tastatur
Sie wissen schon:
Die Taste ON startet oder beendet die laufende Berechnung und durch das
Drücken vo n
SHIFT ON
wird der Rechner ausgeschaltet.
Es ist notwendig sich folgendes anzueignen:
vier Pfeile (linker, rechter, nach oben, nach unten) ermöglichen de n Cursor
·
im CAS, im Menü usw. zu bewegen.
die Taste
·
die Taste ALP HA zum schrei ben von gro ßen Buchstab en und
·
ALPHA
SHIFT
ändert die Funktion jeder Taste auf eine andere Funktion.
zum Schreib en von klei nen Buchstab en. Damit man im
SHIFT
+
ausgewählten Alphabetmodus verbleibt, ist es notwe ndig die Taste
ALPHA
X T
·
Die Taste
·
ständig zu b etätigen.
ermöglicht laut Kontext direkt X, T, zu schreiben.
ENTER
bestätigt die Anweisung.
14 Zu Beginn
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
1.2 Bezeichnung
Die vier Richtungspfeile des Cursors sind hier in folgender Form:
STO auf der Leiste ist im Programm folgend geschrieb e n:
STO
oder
Die Cursorposition im Editor der Gleichungen wird folgend bezeichnet:
1.2.1 Hilfe
Dieser Rechner hat eine sehr leistungsfähige Hilfe.
Im Fenster
Rechners aufrufen. Tastenbedienung:
SHIFT
geschrieben.
Man muß nur den Name der Anweisung schreiben, zum Beispiel
man erhält di e Struktur (Syntax) die s er Anweisung.
Im Fenster
aufrufen. Sie kann vom Fen st er
HELP
Vom CAS kann man Hilfe für verschiedene Funktionen erhalten.
Tastenbedienung:
SHIFT
Sollte die Funktion
CAS HELP ON
ist, eine bestimmte Funktion hervo rzuheben und OK zu schreiben, damit man
zu dieser Funktion Hilfe bekommt.
Sollte im Editor, die Funktion
Menü
HOME
kann man di e Hilfe über verschiedene Anweisungen des
SYNTAX
2 (
HOME
in die Anweisungszeile schreibt.
SYNTAX
2 (
CAS HELP ON
) (pv 2.3.4) und
kann man auch eine allgemeine Hilfe für die Funktion
) (pv 2.3.4)
CAS
im Editor nicht gewählt sein, so öffnet man das Menü
durch die Menüliste im Editor der Gleichungen. Ausreichend
zeigt direkt die Hilfe für
HELPWITH
HOME
CAS
gewählt sein, zum Beispiel
wird in der Anweisungszeile
INPUT
so ausgewählt werden, indem man
FACTOR
FACTOR
an.
und
CAS
(45),
Zu Beginn 15
2 Aplets
2.1 Taste APLET
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Die Taste
Dieser Rechner ermöglicht tatsächlich mit
Was ist eigentlich
Aplet
Ansichten zu gewinnen (eine symbolische, numerische und eine graphische
Ansicht). Das alles wurd e schon programmiert!
Verschiedene
Beispiel Funktionen, Reihen, statistischen Folgen usw., zu arbeiten.
Einige
Aplet
macht die Liste der benutzbaren
Aplet
?
ist ein Programm im Rechner, das durch eine einfache Art ermöglicht 3
Aplets
ermöglichen mit mathematischen Effekten, wie zum
Aplets
sind Programme, die Teile des Unterrichtes illustrieren.
Aplets
Aplets
zugreifbar.
zu arbeiten:
2.2 Verschiedene Aplets
Befindet man sich im HOME, so erfähr t man den Namen des gewählten
APLET
Hier sind einige Auswahlmöglichkeiten der Taste
Sequence
Dieser
U1, U2 … U9, U0
Man definiert U1(N):
·
von der Zustandsze ile .
APLET
sei eine Funk tion N,
ermöglicht Reihen, die folgende Namen tragen, zu definieren:
APLET
aufgelistet:
sei eine Funk tion U1(N – 1).
·
Sei eine Funktion U1(N – 1) und U1(U – 2).
Man definiert zum Beispiel:
U1(N) = N*N+1
und die Wer te U1(1) und U1(2) werden berechnet und geschri eben.
Durch das Anstreichen von U1, danach durch das Drücken der Taste
werden die Werte U1(N) angezeigt.
Aplets 17
NUM
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Weitere Verwendungsbeispiele von
Kapitel und zwar als Berechnung
Aplet Sequence
PGCD
zweier Zahlen (pv 1.3) und
finden Sie im nächsten
Berechnung der Quotienten der Bezouts Identität (pv 1.3)
Function
Aplet
Dieser
ermöglicht Funktionen zu definieren, die folgend kennzeichnet
sind:
F1(X), F2(X) … F9(X), FO(X)
Es wird die Funktion F1(X) definiert:
entweder dur ch den Ausdruck der Funktio n X:
·
Zum Beispiel die Formel:
f
(x) = x.ln (x)
1
oder, sollte die Funktion fortschreitend definiert sein, mit Benutzung
·
boolenscher Zahlen:
X>0 usw …
Zum Beispiel die Formel in Form:
F1(X) = X*(X<0)+2*X*(X<0)
definiert die Funktion:
(x) = x wen n x < 0 und
f
1
(x) = 2·x wenn x > 0
f
1
Parametric
Polar
Solve
Statistic
Inference
18 Aplets
zur Setzung der Kurven in Parameterkoordinaten.
zur Setzung der Kurven der Polarkoordinaten.
zur Lösung numerischer Gleichungen.
für Statistik.
inferentiale Statistiken.
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
2.3 Beispiele mit Benutzung von Aplet
Sequence
Schreibweise der Basis b
Gegeben ist a und b, Sie möchten die Reihe qn (n ³ 1) und rn (n ³ 2) der
Quotienten und der Reste, die Sie durch die Division durch die Basis b dieser q
erhalten, ge wi nne n:
q
= a
1
q
= b·q2 + r2 (0 £ r
1
b)
<
2
i
q
= b·q3 + r3 (0 £ r
1
b)
<
3
……
q
= b·qn + rn (0 £ r
n – 1
Beachten Sie, daß wenn r
b)
<
n
= b, dann ist die Anzahl rn r
n+1
… r3 r2 eine
n – 1
Schreibweise der Basis b von a.
Zu B wird der Wert der Basis zugeordnet, zum Beispiel:
STO
7
B
und zu A die Zahl zur Schreibweise der Basis B (zum Beispiel 1789
Nun definieren Sie zwei Reihen:
U1(1)=A
U1(2)=
U1(N)=
FLOOR
FLOOR
(A/B)
(U1(N – 1)/B)
danach
U2(1)=0
U2(2)=U1(1)
U2(N)=U1(N – 1)
So ist also q
=U1(N) und rn=U2(N)
n
MOD
B
MOD
B
STO
A)
Aplets 19
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Berechnung PGCD
Weiter unten ist die Durchführung des Euklids Algorithmus mit dem Rechner
angeführt:
Hier ist die Beschreibung dieses Algorithmus:
Sie führen eine sukzessive Euklid Division durch:
A = B ´ Q
B = R
+ R1 0 £ R
1
´ Q2 + R2 0 £ R
1
A = R2 ´ Q3 + R3 0 £ R
B
<
1
R
<
2
1
R
<
3
2
Man hat also:
PGCD
PGCD
(A,B) =
(R
n – 1, Rn
PGCD (B, R
) =
PGCD (R
) = …
1
n – 1,
0) =
R
n – 1
Mit Hilfe der Reihen werden die Reihen der Reste geschrieben.
Benutzen Sie
Sequence
und dann
Aplet Sequence
START
am Rechner (Taste
auf der Leiste).
Aplet
, danach wählen Sie
Wenn Sie PGCD(78,56) definieren möchten, wählen Sie die folgende Reihe:
U1(1) = 78
U1(2) = 56
U1(N) = U1(N – 2)
MOD
U1(N – 1).
Sie bedienen die Taste NUM, damit Sie eine numerische Reihe U1(N) erhalten,
bzw. eine Reihe der Reste der sukzessiven Division …
Der letzte Rest ungleich Null ist 2, also
PGCD
(78056) = 2.
BEMERKUNG
Im Fenster
HOME
kann man di e Variable n A und B benutzen, damit man
beide Zahlen U1(1) = A U1(2) = B speichert und implementiert.
Es ist auch zu erwähnen, daß A
MOD
0 = A.
Koeffizientberechnung der Bézouts Identität
Euklids Algorithmus ermöglicht das Paar U, V zu finden und zu prüfen, daß:
A ´ U ´ B ´ V = PGCD(A, B)
Mit Hilfe der Reihen:
20 Aplets
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Sie definieren „die Reihen der Reste“ Rn und zwei Reihen Un und Vn so, daß in
jeder Phase folgendes gilt:
R
Denn es gilt, daß: R
Beziehung (Q
R
über R
n – 2
A + Vn ´ B.
n = Un ·
= ganze Quotient
n
).
n – 1
n = Rn – 2
– Q
n ´ Rn – 1
, Un und V prüft die gesamte ind uktive
Am Anfang hat man:
R
= A R2 =B
1
U
=1 U2 = 0 denn A = 1 ´ A + 0
1
=1 V2 = 0 denn B = 0 ´ A + 1
V
1
Dank der Funktion
Aplet Sequence
B
´
B
´
kann man mit dem Rechn e r di e Reste und
die Reihen U2 und U3 definieren, die für alle N folgendes haben werden:
U/N)=A
U2(N)+B* U3(N).
*
Dazu braucht man eine Reihe von Koeffizienten, die man in U4 eingliedert.
Die Reihen U1, U2, U3 beweisen eine gleiche Induktionsbeziehung:
U
= U
n
Qn =U4(N) =
– Qn ´ U
n – 2
n – 1
FLOOR
gemeinsam mit
(U1(N – 2)/U1(N – 1))
Man definiert also:
U1(1)=A
U1(2)=B
U1(N)=U1(N – 2) – U4(N)·U1(N – 1)
U2(1)=1
U2(2)=0
U2(N)=U2(N – 2) – U4(N)·U2(N – 1)
U3(1)=0
U3(2)=1
U3(N)=U3(N –2) –U4(N)·U3(N –1)
U4(1)=0
U4(2)=0
U4(N)=FLOOR(U1(N –2)/U1(N –1)
Aplets 21
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
Es ist zu bemerken, daß U4(N) nur für N > 2 benutzt wird, es wurden also die
ersten zwei Werte (die nicht gebraucht werden) als Null definiert.
NUM
zeigt also die Werte dieser verschiedenen Reihen und bei dem letzten
nullfreien Rest wird man die Koeffizienten der B ezouts Identität haben.
2.4 Tasten SYMB NUMB PLOT
Aplet kann man all ge mei n dur c h dre i Art en se he n:
NUM
PLOT
SETUP
SYMB
) gedrückt werden, werden
Symbolische Ansicht, entspricht die Taste
·
Numerische Ansicht, entspricht die Taste
·
Graphische Ansicht, entspricht die Taste
·
Wenn alle Tasten gemeinsam mit Shift (
verschiedene benutzte Parameter gewählt (Wahl der Winkeleinheiten,
Parameter des graphischen Fe nsters us w … ).
22 Aplets
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3 Tastatur und CAS
3.1 Taste CAS auf der Leiste
CAS ermöglicht eine exakte oder eine symbolische Berechnung (CAS =
Computer Algebra System).
Man muß zwischen dem folgenden einen Unterschied sehen:
Zwischen der exakten oder der symbolischen Berechnung. Diese Berechnung
ist diejenige, die man mit den Funktionen CAS durchführt. Man arbeitet
im mode exact mit einer unendlichen Genauigkeit und es is t möglich deren
Berechnung Schritt für Schritt zu führen; und
Zwischen der numerischen Berechnung. Diese Berechnung ist diejenige, die
man mit den Funktionen MATH im Fenster HOME oder Aplets durchführt.
Beispiel:
Befindet man sich im Radians im Fenster HOME so:
ARG (1 + i) hat einen Wert von 0,785398163397
Während in CAS, wo nur in Radians gearbeitet wird:
ARG (1 + i) hat einen Wert von
Wenn man eine exakte Berechnung durchführen möchte, ist es notwendig
CAS auf der Leiste zu drücken und somit den CAS Modus zu öffnen. Für die
Rückkehr in das Fenster HOME dann ON drücken.
In den folgenden Kapiteln werden wir dann lernen mit der Funktion CAS
umzugehen.
BEMERKUNG
Einige Funktionen der e xakten Berec hnungen ka nn man direkt im Fenster
HOME benutzen, die laufende Variable ist also systematisch eine Variable S1,
zum Beispiel:
FACTOR
ACHTUNG, einige Berechnungen werden nur annähernd in Hinsicht auf die
Unbestimmtheit zwischen den reellen und den ganzen Zahlen im Fenster
HOME
exaktes Argument auf ein annäherndes Argument (pv 2.3.4) umzusetzen.
Tastatur und CAS 23
(S1^2 – 4)
durchgeführt. Die Anwendung de r Anweisung XQ ermöglicht ein
π
4
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.2 Leiste des Editors der Gleichungen
Der Editor der Gleichungen ermöglicht, ähnlich wie beim Sc hreiben mit d er
Hand, die Schreibweise der Ausdrücke, die man vereinfachen möchte, zu
differenzieren, zu integrieren etc.
Es ist ein Editor der Register beinhaltet:
1.
Register TOOL beinhaltet folgende Anweisungen,
Edit expr., Change font, View expr.
Cursor
·
Edit
·
diesen Ausdruck zu ändern.
Change
·
Buchstaben zu wählen(diese Wahl ist stets zugänglich).
View
·
2. Das Register
zu arbeiten: Fakultäten durchzuführen, Zerlegung und Vereinfachung …
3. Das Register
ermöglichen: Derivation, Integration, limitierte Zerlegung …
4. Das Register
Ausdruck anders oder neu einzugeben.
5. Das Register
trigonometrische Ausdrücke zu ändern.
6. Das Register
Gleichungen, lineare Systeme und differentiale Gleichungen zu lösen.
Im Kapitel 3 finden Sie eine Anleitung, wie man den Ausdruck in den Editor
der Gleichungen schreibt, wie man einen Unterausdruck wählt und wie man die
Funktionen aus
mode
ermöglicht zum Modus Cursor (pv 3.1.4) zu übergehen.
expr.
Editiert den hervorgehobenen Ausdrucks, er ermöglicht also
font
ermöglicht entweder kleine Buchstaben oder große
expr.
ermöglicht eine einfache Sicht auf großen Ausdrücke.
ALBG
beinhaltet Funktionen, die ermöglichen, mit Algebra
DIFF
beinhaltet Funktionen, die eine Differentialrechnung
REWRITE
TRIGO
SOLVER
CAS
aufruft.
beinhalt et Funktio nen, die er möglichen, einen
beinhaltet Funktionen, die ermöglichen
beinhaltet Funktionen, die ermöglichen,
Cursor mode,
Im Kapitel 4 finden Sie alle Funktionen der exakten Berechnungen, beinhaltet
in diesen Registern jeweils mit Beispielen, wie man sie verwendet.
SHIFT 2 (SYNTAX
Funktionen, die zur Verfügung stehen,
dienen dann zu deren Eingabe.
24 Tastatur und CAS
) (pv 2.3.4) dient zum Öffnen der Hilfe für die sonstigen
SHIFT MATH (CMDS
) (pv 2.3.2)
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3 Tasten und Editor der Gleichungen
Die Tasten, über denen in diesem Abschnitt gesprochen wird, haben im Editor
der Gleichungen keine gleiche Funktion wie im Fenster
Wie diese Tasten außerhalb des Editoren der Gleichungen funktionieren, ist aus
dem Haupthandbuch zu entnehmen.
3.3.1 Taste MATH
Diese Taste öffnet das Menü der Funktionen.
Schon im Editor der Gleichungen fi ndet man Funktionen für eine exakte
Berechnung.
HOME
.
Zusätzlich ze igt die gedr ückte Taste
folgendes an:
den Register
·
zusammengesetzten Zahlen zu arbeiten.
den Register
·
den Register
·
die gesamte Arithmetik durchzuführen.
den Register
·
den Register
·
zu arbeiten. Den Wert p beinhaltet die Variable
den Register
·
ermöglichen, mit Polynomen zu rechnen.
den Register
·
ASSUME
·
Parameter und so die Variable REALASSUME (pv 3.3.3) zu modifizieren
CMPLX
CONSTANTS
INTEGER
HYPERBOLIC
MODULAR
POLYNOMINAL
TEST
UNASSUME
… der Funktionen beinhaltet, die ermöglichen, mit
… der folgendes beinhaltet:
>
³ < £ = = ¹
MATH
im Editor der Gleichungen
… (e i ¥ p i)
… der Funktionen beinhaltet, die ermöglichen,
… der hyperbolische Funktionen beinha ltet.
… der ermöglicht, in Z/pZ oder Z/pZ[X] mit p
MODULO
… der Funktionen beinhaltet, die
(zur Durchführung von Hypothesen über
AND OR NOT.
.
Tastatur und CAS 25
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3.2 Taste SHIFT MATH (CMDS)
Im HOME ermöglicht diese Taste den Zugriff zu den Anweisungen, die
folgendes zu steuern ermöglichen:
Aplets
·
Programme zu schreiben
·
Graphen zu zeichnen
·
Statistiken zu erstellen
·
Im Editor der Gleichungen findet man einen Katalog aller Funktionen der
exakten Berechnungen.
Genau so die Funktionen, die anderswo nicht vorkommen, können aus diesem
Menü aufgerufen werde n, womit man das Eintasten im Modus
vermeiden
.
Alpha
3.3.3 Taste VARS
Durch Betätigen dieser Taste werden im Editor der Gleichungen die Namen der
in CAS definierten Variablen angezeigt.
Wir unterscheiden namV X, das den Namen der laufenden Varia ble beinhaltet.
Zur Darstellung des Inha l tes jeder Variable ge nügt es, den markierten Namen
durch Betätigen von F2 für VIEW in der Displayleiste anz usehen.
Zur Änderung des Inhaltes der Variable genügt es, den markierten Namen
anzugeben und F3 für EDIT der Liste zu betätigen.
In der Liste wird ebenfalls folgendes angezeigt:
PURGE, löscht die entsprechnede Variable.
RENAME, ändert die bestehenden Variable.
NEW, ermöglicht eine neue Variabl e zu besti mmen: es genügt, auf den Inhalt
(Objekt), dann auf deren Namen (Name) zu klicken.
siehe auch Teil 3.3.
26 Tastatur und CAS
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3.4 Taste SHIFT 2 (SYNTAX)
Wenn man sich im Editor der Gleichungen befindet, öffnet die Kombination
der Tasten: SHIFT 2 (SYNTAX) das Menü CAS HELP ON. Sollte die
Funktion des gewählten CAS im Editor nicht vorhanden sein, schlägt dieses
Menü eine Liste der aus dem Editor der Gleichu ngen verwendbaren Fun kt ionen
vor. Es genügt also, die Funktion zu markieren und O K zu drücke n, um für
diese Funktion die Hilfe zu bekommen.
Wenn im Editor die Funktion CAS gewählt wird, z.B.: FACTOR (45), öffnet
das Menü CAS HELP ON direkt die Hilfe auf der Seite von FACTOR. Die
Hilfe besteht in einer kurzen Beschreibung der Anweisung, eines Beispiels und
seiner Antwort. Jedes Beispiel kann im Editor der Gleichungen mit Hilfe von
ECHO der Liste im bestehenden Zustand angegeben werden oder es kann
geändert werden.
Es ist zu bemerken, daß in den Beispielen der Hilfe als laufende Variable
VX=X gewählt wurde. Sollte es nicht der Fall sein, wird das B e ispiel
automatisch mit Rücksicht auf Ihr VX im Laufe der Übertragung mit Hilfe von
ECHO geändert.
Sie haben ebenfalls die Möglichkeit, die Hilfe einer Anweisung direkt in SEE
zu öffnen: mit Hilfe von SEE1, SEE2 … der Liste.
3.3.5 Taste HOME
Das Drücken der Taste
Übersicht
Die Übersicht der durchgeführten Berechnungen im
der Berechnungen durchgeführt i n HOME ist unterschie dlich.
Genau so wie in der Übersicht des Fensters
Berechnungen links und die Ergebnisse rechts geschrieben werden. Durch den
Pfeil der nach oben zielt kann man in die Übersicht zurückkehren.
Dank
schon eingegebene Anweisung kopieren.
Tastatur und CAS 27
CAS
einzuspr ingen.
ECHO
auf der Leiste kann man das vorhe rgehende Ergebnis od er die
HOME
im Editor der Gleichungen ermöglicht in die
CAS
und die Übersicht
HOME,
wo die eingegebenen
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3.6 Taste SHIFT SYMB
Befindet man sich im Editor der Gleichungen, so sind die Tasten
SYMB (SETUP
usw … auf der Leiste pv 4.1.1)
Das ermöglicht folgendes zu präzisieren:
den Namen der Variable beinhaltet in VX durch d as Eintasten d eren Namen
Inder var
vor
Modulo,
Modus durch Akti vie re n vo n
reellen Modus arbeiten möchte/oder im Komplex des Modus durch Aktivieren
Complex
von
Wenn man im Modus
wird auf der Leiste
wenn Ihre Polynome nach den abnehmenden Po tenzen (oder der zuneh menden,
wenn man Pow und CHK auf der Leiste aktiviert) geschrieben sind,
wenn man symbolische Primfaktor en (oder numerische, we nn man Num Fac tor
und CHK auf der Leiste anstreicht) erhalten möchte,
wenn man im freien Modus (oder im exakten Modus, wenn man Rigourous und
CHK auf der Leiste aktiviert, damit man die absoluten Werte beachtet!)
arbeiten möchte.
Man bestätigt durch OK oder durch ENTER.
) analogisch zu
,den Wert
wenn man im exakten Mous arbeiten möchte (oder im annähernden
und
MODULO
CHK
auf der Leiste),
Direct
Step/Step
CFG
(die erste Wahl aus dem Menü
durch das Eintasten ihre s Wertes vor
Aprox
arbeiten möchte(oder im Modus
und
CHK
und
CHK
auf der Leiste),wenn man im
auf der Leiste anktiviert),
SHIFT
ALBG
Step/Step
, dann
3.3.7 Taste SHIFT
Befindet man sich im Editor der Gleichungen, dann haben die Tasten:
SHIFT, (MEMORY) eine Aufgabe „undo“.
Das ist sehr nüt zlich, wenn man sich getäuscht hat, die vorhergehende Ein gabe
zu löschen.
28 Tastatur und CAS
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3.8 Taste PLOT
Drückt man PLOT im Editor der Gleichungen, so fragt Sie das Dia l ogfenster,
ob Sie eine Parameterkurve oder ei ne Polarkurve festlegen möchten. Je nach
dem, was gewählt wird, wird der hervorgehobene Ausdruck in das zuständige
Aplets
ACHTUNG: dies erfordert, daß die laufende Variable auch als Variable der
zuständigen Funktion ist, denn während des Kopieren wird der Ausdruck
aufgewertet und die laufende Variable (die, was im VX beinhaltet ist) wird zu
;7RGHU
Wenn es einen ausgewählt en Ausdruck mit reellen Werten gib t :
auf eine Stel le, die man näher besti mmt, kopiert.
ODXW$UWGHV*UDSKHVJHändert.
so kann man
entweder zum Type:
Wenn es einen ausgewählt en Ausdruck mit komplexen Werte n gibt:
so muß man Aplet Parametric wählen und der Graph wird den Type:
Parametric haben.
Wenn man folgendes auswählt:
Aplet Function, der hervorgehobene Ausdruck wird in die ausgewählte
·
Funktion Fi kopiert und die laufende Variable wird sich während des
Kopieren zu X ändern,
Aplet Parametric, reeller und imaginärer Teil
·
des hervorgehobenen Au sdruckes werden in die ausgewählten Fu nktionen
·
Xi, Yi kopieren und die laufende Variable ändert sich zu T während des
Kopieren,
Aplet Polar, der hervorgehobene Wert wird in die ausgewählte Funktion
·
Ri kopiert und die laufende Variable ändert sich während des Kopieren auf
Aplet Function
Function
oder Aplet Polar wählen, der Graph wird dann
Polar
oder
.
3.3.9 Taste NUM
Drückt man
Ausdruck durch einen nu merisch annähernden Wer t ersetzt.
NUM
im Editor der Gleichungen, so wird der hervorgehobene
Tastatur und CAS 29
Exakte Berechnungen und Mathematik mit HP40G
3.3.10 Taste VIEWS
Beim Betätigen von VIEWS aus dem Editor der Gleichungen kann der
markierte Ausdruck durch die Cursorbewegung mittels der Pfeile > und <
vollständig angezeigt werden. Zur Rückkehr in den Editor der Gleichungen OK
drücken.
3.3.11 Tastenabkürzungen
Es ist zu bemerken, daß man im Editor der Gleichungen mit der Tastatur diese
abgekürzten Anweisungen benutzen kann:
SHIFT
0 für
¥
SHIFT
1 für i
SHIFT
3 für
p
SHIFT
5 für
<
SHIFT
6 für
>
SHIFT
8 für
£
SHIFT
9 für
³
3.4 CAS nach HOME
Es ist möglich bestimmte genaue Funkt i onen direkt im Fenster H OME, mit
Hilfe eini gen Maßnahmen, zu benut zen:
die Anwendung der genauen Rechenfunktion, die sich im CAS auf der
·
Taste MATH (im Fenster HOME) befindet. Übliche Variable ist also die
systematische Variable S1, z. B.:
2
-die Anwendung der Variable S1, S2, … S5 als symbolische Variablen,
·
wenn Sie mit den symbolischen Matrixen arbeiten wollen, ist nötig die
Matrixen als L1, L2, … L9, L0 zu speichern, sonst werden diese Matrixen als
die Liste der Listen interpretieren (die numerische Matrixen müssen als M1,
M2, … M9, M0 gespeichert werden).z.B.:
Sie können auch mit der Hilfe des Befehls PUSH und POP die Ausdrücke aus
dem Speicher ins Fenster HOME auf den Speicher CAS übertragen.
30 Tastatur und CAS
12)241(
SSSDERVX ⋅=⋅−
1)]2(,11[ LSTOXQS >+
Loading...