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Hp 39G, 40G User Manual [es]

CALCULO SIMBÓLICO
Y
MATEMÁTICO
CON
LA HP 40G
Version 1.0
Renée de Graeve
Profesora Titular de la Universidad de Grenoble I
Agradecimientos
Todo el mundo sabia que era imposible que se escribiera un programa de
cálculo simbólico completo…Una persona sola, un iluminado, Bernard Parisse no lo sabía … pero él lo consiguió.
Este es su programa de calculo simbólico (llam
DGR(5$%/(LPSODQWDGR
por segunda vez en una calculadora HP. Esto ha llevado a Bernard Parisse a modificar ligeramente su programa de
manera que las funciones de cálculo simbólico puedan ser editadas y obtener las respuestas en el editor de ecuaciones…
A lo largo de este manual descubrirán todas las prestaciones de esta calculadora.
Quiero dar las gracias a:
Bernard Parisse por sus valiosos consejos, sus observaciones sobre el
·
texto, sus correcciones y su facilidad para escribir las funciones según mi demanda, con eficacia y amabilidad
Jean Tavenas por el interés puesto en la realización de esta guía; Jean
·
Yves Avenard por haber tenido en cuenta nuestras súplicas y haber escrito con prontitud, el comando PROMPT de manera improvisada…(véase
6.4.2)
2000 Hewlett-Packard. http://www.hp.com/calculators
ã
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A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License (chapter 8, p.141).
2 Agradecimientos
Prologo
La HP 40G va a marcar una nueva etapa en la expansión del uso del cálculo simbólico. Por un lado por su precio competitivo, y por otro lado, por la gran cantidad de posibilidades para ejecutar p aso a paso los principales algoritmos impartidos en matemáticas tanto en institutos como en los primeros años de la universidad.
Pero había además que adjuntar una documentación adecuada, preferentemente escrita por un profesor de matemáticas. Esto es lo que Uds. van a encontrar en esta guía realizada por Reneé de Graeve profesora titular de la Universidad de Grenobe I y presentadora en el IREM de Grenoble. Este manual contiene por supuesto una referencia completa de las funciones de cálculo simbólico, y también nos muestra como a partir de ejemplos de Selectividad y ejercicios de bachillerato se puede sacar todo el partido de la potencia del cálculo de la HP 40G y termina con dos capítulos dedicados a la programación: el primero para aprender a programar y el segundo que trata sobre la aplicación de algoritmos en los programas de aritmética utilizados en las especialidades de ciencias.
Bernard Parisse Profesora titular de la Universidad de Grenoble I
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Prologo 3
Contenido
0 Para Empezar................................................13
0.1 Presentación General.........................................13
0.1.1 Puesta en Marcha ..................................................13
0.1.2 Que se ve...............................................................13
0.2 Notaciones..........................................................15
0.2.1 Ayuda en Linea.......................................................15
1 Las Aplets......................................................17
1.1 Tecla APLET ......................................................17
1.2 Las Diferentes Aplets..........................................17
1.3 Ejemplo Utilizando el Aplet Sequence................19
1.3.1 Escritura en base b ................................................ 19
1.3.2 Cálculo del MCD..................................................... 20
1.4 Teclas SYMB NUM PLOT ..................................22
2 El Teclado Y el CAS.......................................23
2.1 ¿Qué es el CAS?................................................23
2.2 Variable Real......................................................23
2.3 ¿Cómo Realizar un Calculo Simbólico? .............24
2.4 El CAS Desde el Editor de Ecuaciones..............24
2.5 Teclado Desde el Editor de Ecuaciones.............25
2.5.1 TECLA MATH.........................................................25
2.5.2 TECLAS SHIFT MATH (CMDS)............................. 26
2.5.3 TECLA VARS......................................................... 26
2.5.4 TECLAS SHIFT 2 (SYNTAX) .................................26
2.5.5 TECLA HOME........................................................27
2.5.6 TECLAS SHIFT SYMB........................................... 27
2.5.7 TECLA SHIFT ........................................................ 28
2.5.8 TECLA PLOT ......................................................... 28
2.5.9 TECLA NUM........................................................... 29
2.5.10 TECLA VIEWS.......................................................29
2.5.11 ABREVIATURAS CON EL TECLADO ...................29
2.6 El CAS Desde Home..........................................30
2.7 Teclado Desde Home.........................................30
2.7.1 TECLA MATH.........................................................30
2.7.2 TECLA SHIFT 2 (SYNTAX).................................... 30
2.7.3 TECLA SHIFT 1 (PROGRAM) ...............................31
Contenido 5
3 Cómo Escribir Expresiones en el Editor de
Ecuaciones ....................................................33
3.1 Editor de Ecuaciones..........................................33
3.1.1 Cómo Acceder al Editor de Ecuaciones.................33
3.1.2 ¿Cómo Seleccionar?..............................................33
3.1.3 Cómo Modificar una Expresión ..............................38
3.1.4 Modo Cursor...........................................................39
3.1.5 Para ver Todo.........................................................39
3.2 Introducir Datos en las Funciones del CAS........39
3.2.1 Cómo Escribir <
3.2.2 Como Escribir las Funciones de Sufijo...................41
3.2.3 Cómó Escribir las Funciones de Prefijo..................41
..............................................39
S
3.3 Variables.............................................................44
3.3.1 STO>......................................................................44
3.3.2 STORE ...................................................................45
3.3.3 Las Variables Predefinidas del CAS.......................45
4 Funciones de Cálculo Simbólico....................47
4.1 Menú del CAS ....................................................47
4.1.1 CFG........................................................................47
4.1.2 TOOL......................................................................48
4.1.3 ALG.........................................................................48
4.1.4 DIFF&INT ...............................................................49
4.1.5 REWRITE...............................................................49
4.1.6 SOLVE....................................................................50
4.1.7 TRIG.......................................................................50
4.1.8 TECLA MATH.........................................................51
4.2 Paso a Paso.......................................................51
4.3 Escritura Normal.................................................52
4.3.1 DEF.........................................................................52
4.4 Números Enteros (Y Los Enteros de Gauss) .....53
4.4.1 DIVIS ......................................................................53
4.4.2 EULER....................................................................54
4.4.3 FACTOR.................................................................54
4.4.4 GCD........................................................................54
4.4.5 IEGCD ....................................................................55
4.4.6 IQUOT ....................................................................56
4.4.7 IREMAINDER MOD................................................56
6 Contenido
4.4.8 ISPRIME?...............................................................57
4.4.9 LCM........................................................................ 57
4.4.10 NEXTPRIME .......................................................... 57
4.4.11 PREVPRIME ..........................................................58
4.5 Calculo Modular..................................................58
4.5.1 ADDTMOD ............................................................. 58
4.5.2 DIVMOD.................................................................59
4.5.3 EXPANDMOD ........................................................ 59
4.5.4 FACTORMOD ........................................................59
4.5.5 GCDMOD...............................................................60
4.5.6 INVMOD.................................................................60
4.5.7 MODSTO................................................................ 60
4.5.8 MULTMOD .............................................................60
4.5.9 POWMOD .............................................................. 61
4.5.10 SUBTMOD ............................................................. 61
4.6 Numeros Racionales ..........................................61
4.6.1 PROPFRAC............................................................62
4.7 Numeros Reales.................................................62
4.7.1 FLOOR...................................................................63
4.7.2 MOD.......................................................................63
4.8 Numeros Complejos...........................................63
4.8.1 ARG........................................................................ 64
4.8.2 DROITE.................................................................. 65
4.9 Expresiones Algebraicas....................................65
4.9.1 COLLECT............................................................... 65
4.9.2 EXPAND................................................................. 66
4.9.3 FACTOR................................................................. 66
4.9.4 |............................................................................... 67
4.9.5 SUBST....................................................................67
4.10 Polinomios..........................................................67
4.10.1 DEGREE ................................................................67
4.10.2 EGCD.....................................................................68
4.10.3 FACTOR................................................................. 68
4.10.4 GCD........................................................................69
4.10.5 HERMITE ...............................................................69
4.10.6 LCM........................................................................ 69
4.10.7 LEGENDRE............................................................ 70
4.10.8 PARTFRAC............................................................70
4.10.9 PROPFRAC............................................................71
4.10.10 PTAYL....................................................................71
4.10.11 QUOT..................................................................... 71
4.10.12 REMAINDER..........................................................72
4.10.13 TCHEBYCHEFF.....................................................72
Contenido 7
4.11 Funciones...........................................................73
4.11.1 DEF.........................................................................73
4.11.2 IFTE........................................................................74
4.11.3 DERVX ...................................................................74
4.11.4 DERIV.....................................................................75
4.11.5 TABVAR .................................................................76
4.11.6 FOURIER................................................................76
4.11.7 IBP..........................................................................77
4.11.8 INTVX.....................................................................78
4.11.9 LIMIT.......................................................................80
4.11.10 LIMIT y ò..................................................................81
4.11.11 PREVAL..................................................................82
4.11.12 RISCH.....................................................................82
4.12 Desarrollos Limitados y Asintoticos....................82
4.12.1 DIVPC.....................................................................83
4.12.2 LIMIT.......................................................................83
4.12.3 SERIES...................................................................84
4.12.4 TAYLOR .................................................................87
4.12.5 TRUNC...................................................................87
4.13 Funciones de Sobreescritura ..............................88
4.13.1 DISTRIB..................................................................88
4.13.2 EPSXO ...................................................................88
4.13.3 EXP2POW..............................................................89
4.13.4 EXPLN....................................................................89
4.13.5 FDISTRIB ...............................................................89
4.13.6 LIN..........................................................................90
4.13.7 LNCOLLECT ..........................................................91
4.13.8 POWEXPAND........................................................91
4.13.9 SIMPLIFY ...............................................................91
4.13.10 XNUM.....................................................................92
4.13.11 XQ...........................................................................92
4.14 Ecuaciones.........................................................92
4.14.1 ISOLATE.................................................................93
4.14.2 SOLVEVX...............................................................93
4.14.3 SOLVE....................................................................94
4.15 Sistemas Lineales ..............................................94
4.15.1 LINSOLVE..............................................................94
4.16 Las Ecuaciones Diferenciales.............................96
4.16.1 DESOLVE Y SUBST ..............................................96
4.16.2 LDEC......................................................................97
8 Contenido
4.17 Expresiones Trigonometricas...................98
4.17.1 ACOS2S................................................................. 98
4.17.2 ASIN2C...................................................................98
4.17.3 ASIN2T................................................................... 99
4.17.4 ATAN2S..................................................................99
4.17.5 HALFTAN.............................................................100
4.17.6 SINCOS................................................................ 100
4.17.7 TAN2CS2 .............................................................101
4.17.8 TAN2SC ...............................................................101
4.17.9 TAN2SC2 .............................................................102
4.17.10 TCOLLECT........................................................... 102
4.17.11 TEXPAND ............................................................102
4.17.12 TLIN...................................................................... 103
4.17.13 TRIG.....................................................................104
4.17.14 TRIGCOS............................................................. 104
4.17.15 TRIGSIN...............................................................104
4.17.16 TRIGTAN.............................................................. 105
5 Ejercicios Realizados con la HP 40..............107
5.1 Introduccion......................................................107
5.2 Ejercicios para Bachillerato ..............................108
5.2.1 EJERCICIO 1 ....................................................... 108
5.2.2 EJERCICIO 2 ....................................................... 109
5.2.3 EJERCICIO 3 ....................................................... 110
5.2.4 EJERCICIO 4 ....................................................... 111
5.2.5 EJERCICIO 5 ....................................................... 112
5.3 Ejercicios DE selectividad.................................113
5.3.1 EJERCICIO 1 ....................................................... 113
5.3.2 EJERCICIO 2 (de especialidad)........................... 119
5.3.3 EJERCICIO 2 (No es de la Especialidad) ............124
5.4 Conclusión........................................................128
6 Programación...............................................129
6.1 Implementación ................................................129
6.1.1 Como Editar y Grabar........................................... 129
6.1.2 Como corregir un Programa................................. 129
6.1.3 Como Ejecutar un Programa................................ 129
6.1.4 Como Modificar un Programa .............................. 129
Contenido 9
6.2 Comentarios.....................................................130
6.3 Las Variables .........................................130
6.3.1 Sus Nombres........................................................130
6.3.2 Nociones Sobre Variables Locales.......................130
6.3.3 Nociones de Parametros......................................131
7 Entradas ......................................................133
7.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............133
7.1.2 Traduccion HP 40G..............................................133
7.2 las Salidas........................................................133
7.2.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............133
7.2.2 Traduccion en la HP 40G .....................................133
7.3 Secuencia de Instrucciones o Acción...............133
7.3.1 traduccion en los Calculos Algoritmicos...............133
7.3.2 Traduccion en la HP 40G .....................................134
7.4 La Instrucción de Asignación............................134
7.4.1 traduccion en los calculos algoritmicos................134
7.4.2 Traduccion en la HP 40G .....................................134
7.5 Las Instrucciones Condicionales......................134
7.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............134
7.5.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.6 Las instrucciones “Para”...................................135
7.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............135
7.6.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.7 La Instrucción “Mientras”..................................135
7.7.1 Traduccion en los calculos algoritmicos...............135
7.7.2 Traduccion en la HP 40G .....................................135
7.8 Las Expresiones Booleanas.............................136
7.8.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.8.2 Traduccion en la HP 40G .....................................136
7.9 Operadores Logicos.........................................136
7.9.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.9.2 Traduccion en la HP 40G .....................................136
7.10 Las Listas ......................................................... 136
7.10.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos..............136
7.10.2 Traduccion en la HP 40G .....................................137
7.11 Un Ejemplo: la Criba de Eratóstenes................138
7.11.1 Descripcion...........................................................138
7.11.2 Escritura del Calculo Algoritmico..........................138
7.11.3 Traduccion en la HP 40G .....................................139
10 Contenido
8 Programas de Aritmetica..............................141
8.1 EL MCD y el Algoritmo de Euclides..................141
8.1.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos.............. 141
8.1.2 Traduccion en la HP 40G..................................... 142
8.2 Identidad de Bézout..........................................146
8.2.1 Version Iterativa SIN las Listas............................. 146
8.2.2 Version Iterativa con las listas..............................147
8.2.3 Version recursiva con Listas ................................ 148
8.2.4 Version Recursiva SIN las Listas .........................149
8.2.5 Traduccion en la HP 40G..................................... 150
8.3 Descomposicion en Factores Primos ...............152
8.3.1 Los Calculos Algoritmicos y sus Traducciones.... 152
8.3.2 Traduccion en la HP 40G..................................... 155
8.4 Calculo de AP MOD N.......................................156
8.4.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos.............. 156
8.4.2 Traduccion en la HP 40G..................................... 158
8.5 La función “esprimo”.........................................159
8.5.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos.............. 159
8.5.2 Traduccion en la HP 40G..................................... 162
8.6 Metodo probabilistico de Mr.Rabin ...................163
8.6.1 Traduccion en los Calculos Algoritmicos.............. 163
8.6.2 Traduccion en la HP 40G..................................... 164
Contenido 11
0 Para Empezar
0.1 Presentación General
0.1.1 Puesta en Marcha
Pulse la tecla ON.
Está Ud. en la pantalla Durante la realización del trabajo, la tecla ON anula la operación en curso:
hace la función de Para apagar la calculadora teclee Si después de haber pulsado reiteradas veces ON (
responde pulse simultáneamente ON y F3 para reinicializar la calculadora.
HOME
CANCEL
.
SHIFT
y a continuación ON (
CANCEL
OFF
)
) la calculadora no
0.1.2 Que se ve
De arriba abajo:
DEG
HOME
GRD
o
HOME
según se trabaje en radianes, gra dos centesimales o
los ajustes seleccionados:
1. La pantalla a. El área de estado
b. Una línea horizontal c. El menú principal de los comandos
2. El teclado
La pantalla
1.a El área de estado indica en la pantalla RAD o
·
grados sexagesimales.
FUNCTION
· í
Function
5 La flecha hacia arriba nos permite desplazarnos por la historia.
·
1.b Línea horizontal
Sobre esta línea se sitúa la historia de los cálculos hechos en En la pantalla,.se sitúa a la izquierda la expresión que hemos introducido, y a la
derecha el resultado.
Para Empezar 13
para indicar el nombre del Aplet seleccionar:
ý
Aplet
HOME
.
Bajo esta línea se sitúa la línea de edición de comandos. Podemos, gracias a la flecha hacia arriba, volver a la historia y copiar, con el
comando
COPY
del menú, un comando o un resultado anterior en la línea de
comandos.
1.c. Menú principal: Se puede acceder a los comandos del menú a través de las 6 teclas grises a las
que llamaremos: F1, F2, F3, F4, F5, F6. El menú posee directorios que engloban varios comandos, se reconocen por su
forma rectangul ar. Para activar un comando del menú, basta con pulsar la tecla Fi
correspondiente. En la pantalla
STO> nos permite introducir un valor en una variable
·
CAS nos permite abrir el editor de ecuaciones para efectuar un cálculo
·
HOME
, el menú tiene dos comandos:
simbólico.
2. Teclado: Ya conoce Ud.:
La tecla ON para encender o detener la realización de un cálculo en curso y
SHIFT ON
para apagar la calculadora. A continuación vamos a localizar: Las cuatro flechas (izquierda, derecha, arriba, abajo) que permiten desplazar el
cursor cuando estamos en el editor de ecuaciones, en el menú etc…
La tecla
·
función. Se utiliza la tecla
SHIFT
textos es necesario mantener pulsada la tecla
;7
·
tecla
SHIFT
que permite que una misma tecla tenga acceso a otra
y a continuación
ALPHA
ALPHA
para escribir en mayúsculas y las teclas
para escribir en minúsculas. Para escribir
ALPHA
.
QRVSHUPLWHVHJXQHOFRQWH[WRHVFULELUGLUHFWDPHQWH;7 1/D
ENTER
valida el comando.
14 Para Empezar
0.2 Notaciones
Las cuatro flechas de dirección del cursor se representan mediante los cuatro triángulos que representamos a continuación:
D<>Ñ
El comando
En el editor de ecuaciones la posición del cursor se representa por:
STO>
del menú está representado en un programa por:
STO > o
>
0.2.1 Ayuda en Linea
Esta calculadora posee una ayuda en línea muy práctica y eficaz consistente en una lista de todas las funciones de cálculo simbólico por orden alfabético. En todos los menús, Ud. puede tecleando una letra, acceder a las funciones que empiecen por esa letra, sin necesidad de pulsar ALPHA.
La ayuda consiste e n una descripción resumida de un comando, de un ej emplo o de su respuesta. Cada ejemplo puede ser verificado con ECHO del menú y ser tratado tal cual, o bien puede ser modificado. También se puede acceder a la ayuda de los comandos próximos con SEE1 SEE2… del menú principal.
Para obtener mas información vea el funcionamiento de las teclas
SYNTAX
(
) en las secciones 2.5.4 y 2.7.2.
SHIFT 2
Para Empezar 15
1 Las Aplets
1.1 Tecla APLET
La tecla Aplet nos permite acceder a la lista de Aplets disponibles. Esta calculadora nos permite trabajar con Aplets.
Pero, ¿qué es un Aplet? Un Aplet es un programa incorporado en la calculadora que permite obtener
con facilidad 3 visualizaciones diferentes de un.mismo objeto matemático (una visualización simbólica, una visualización numérica y otra gráfica) y ¡¡¡todo está ya incorporado!!!
Las diferentes Aplets nos permiten trabajar con objetos matemáticos tales como: funciones, sucesiones, series estadísticas…
Algunas Aplets son programas de lecciones pertenecientes al curso escolar.
1.2 Las Diferentes Aplets
HOME
Desde seleccionado.
Posibles opciones de la tecla Aplet:
Ud. puede saber mirando la línea de estado, el nombre del Aplet
Sequence
Este Aplet nos permite definir series con los siguiente nombres: U1, U2…U9, U0 Podemos definir U1(N):
O en función de N
·
O en función de U1(N – 1)
·
O en función de V1(N – 1) y de V1 (N – 2)
·
Por ejemplo: U1(N) = N * N + 1 Y entonces los valores de U1(1) y de U1(2) son calculados y puestos
automáticamente. Señalando U1, y pulsando
Las Aplets 17
NUM
los valores U1(N) se visua lizan.
Encontraremos otros ejemplos utilizando Aplet Sequence en los párrafos siguientes como el cálculo de
MCD
de dos números (véase 1.3) y el cálculo de
los coeficientes de Bézout (véase 1.3)
Function
Este Aplet permite definir las funciones que tienen como nombre: F1(X), F2(X)…F9(X), F0(X) Definimos F1(X):
o por una expresión en función de X:
·
Por ejemplo, la fórmula: F1(X) = X * LN(X) Define la funció n:
IÕ[ [ÂOQ[
o si la función está definida por partes, utilizando los booleanos:
·
X > 0 etc… Por ejemplo, una fórmula de la forma: F1(X) = X * (X < 0) + 2 * X * (X > 0) Define la funció n:
IÕ[ [VL[\ IÕ[ Â[VL[!
Para trazar curvas en coordenadas paramétricas
·
Para trazar curvas en coordenadas polares
·
Para resolver ecuaciones numéricas
·
Para hacer estadísticas
·
Para hacer estadísticas inferenciales
·
18 Las Aplets
1.3 Ejemplo Utilizando el Aplet Sequence
1.3.1 Escritura en base b
Dados a y b, queremos obtener, la sucesión qn (n ³ 1) y rn (n ³ 2) de los coeficientes y los restos de la división por b de los qi definidos por:
q
= a
1
q
= b·q2 + r2 (0 £ r
1
b)
<
2
q
= b·q3 + r3 (0 £ r
1
b)
<
3
……
q
= b·qn + rn (0 £ r
n – 1
Señalaremos que si r
= 0 el número rn r
n + 1
b)
<
n
… r3 r2 corresponde a la
n – 1
escritura en base b de a, cuando suponemos que 2 £ b £ 10. Introducimos en B el valor de la base, por ejemplo:
STO
7
> B
y en A el número a escribir en base B (por ejemplo 1789
STO
A continuación definimos dos sucesiones: U1 (1) = A U2 (2) = FLOOR (A/B) U1 (N) = FLOOR (U1(N – 1)/B) y U2 (1) = 0 U2 (2) = A U2 (N) = U1 (N – 1) de manera que qn = U1(N) y r
MOD
B
MOD
B
= U2 (N)
n
obtenemos:
> A)
U2(2) = 4 U2(3) = 3 U2(4) = 1 U2(5) = 5 U2(6) = 0 por lo tanto la escritura en base 7 de 1789 es 5134.
Las Aplets 19
1.3.2 Cálculo del MCD
Ejecución del Algoritmo de Euclides con la HP 40G. Descripción de este algoritmo: Efectuamos las divisiones euclidianas sucesivas:
A = B ´ Q
B = R
+ R1 0 £ R
1
´ Q2 + R2 0 £ R
1
A = R2 ´ Q3 + R3 0 £ R
B
<
1
R
<
2
1
R
<
3
2
Tras un número d eterminado de etapas (como máximo B ),.existe un número entero tal que:
RN = 0 MCD (A,B) = MCD (B, R MCD (R
, RN) = MCD (R
n – 1
) = …
1
n – 1
, 0) = R
n – 1
Con la ayuda de las sucesiones, escribimos la sucesión de las restas. Con la HP 40G utilizamos el Aplet Sequence (la tecla Aplet, a continuación se
selecciona Sequence y Si queremos determinar el
START
MCD
del menú).
(78,56), definiremos la sucesión: U1 (1) = 78 U1 (2) = 56 U1 (N) = U1(N – 2) Tecleamos
NUM
MOD
U1 (N – 1)
para obtener la lista numérica de los U1 (N), es decir la lista
de los restos de las divisiones sucesivas. El último resto, no nulo, es 2, por lo tanto el
MCD
(78,56) = 2
NOTA:
Se puede utilizar en
HOME
las variables A y B para almacenar los dos
números y poner, entonces, U1(1) = A U1(2) = B. Hay que tener en cuenta también que A
MOD
0 = A.
Cálculo de los coeficientes de identidad de Bézout
El algoritmo de Euclides permite encontrar un par U,V que verifique que: A ´ U ´ B ´ V =
20 Las Aplets
MCD
(A,B)
Con las sucesiones:
Vamos a definir "la sucesión de los restos" R
y dos sucesiones Un y Vn de
n
manera que en cada bloque tengamos:
R
ya que tenemos: R
n = Un ·
A + Vn ´ B.
n = Rn – 2
– Q
n ´ Rn – 1
, Un y V van a cumplir la misma relación
de recurrencia (Q
= cociente entero de R
n
n – 2
por R
n – 1
) Al principio tenemos: R
= A R2 = B
1
U
= 1 U2 = 0 denn A = 1 ´ A + 0
1
V
= 1 V2 = 0 denn B = 0 ´ A + 1
1
B
´
B
´
Con la HP 40G, gracias al Aplet Sequence, vamos a definir la sucesión U1 de los restos y las sucesiones U2 y U3, de manera que para N obtengamos:
U1 (N) = A * U2 (N) + B * U3(N) Necesitaremos la sucesión de los cocientes que introduciremos en U4. Las series U1, U2, U3 cumplen la misma relación de recurrencia:
U
= U
n
– Qn ´ U
n – 2
n – 1
con
Qn = U4 (N) = FLOOR (U1(N – 2)/ U1(N – 1)) Definimos: U1 (1) = A U1 (2) = B U1 (N) = U1 (N – 2) –U4 (N) * U1 (N – 1) U2 (1) = 1 U2 (2) = 0 U2 (N) = U2 (N-2) – U4 (N) * U2 (N-1) U3 (1) = 0 U3 (2) = 1 U3 (N) = U3 (N – 2) – U4 (N) * U3 (N – 1) U4 (1) = 0 U4 (2) = 0
U4 (N) = FLOOR (U1(N – 2)/ U1(N – 1))
Las Aplets 21
Hay que señalar que U4 (N) sólo se utiliza para N > 2, ya que hemos definido los dos primeros valores ( que no son necesarios!) por cero.
NUM
va a visualizar a continuación los valores de estas sucesiones y en la
línea del último resto no nulo se podrá leer el mcd y los coeficientes de Bézout.
1.4 Teclas SYMB NUM PLOT
Las tres principales visualizaciones de un Aplet son:
Una visualización simbólica que corresponde a la tecla SYMB
·
Una visualización numérica que corresponde a la tecla
·
Una visualización gráfica que corresponde a la tecla
·
Cuando utilizamos la segunda función de las teclas (SETUP), podemos elegir los diferentes parámetros (elección de la unidad del ángulo, parámetros de la ventana gráfica, etc…)
NUM
PLOT
22 Las Aplets
2 El Teclado Y el CAS
2.1 ¿Qué es el CAS?
El CAS nos permite realizar el cálculo simbólico: CAS = Computer Algebra System. Tenemos que diferenciar entre:
Cálculo simbólico, cuando se utilizan las funciones del CAS. Se trabaja
·
entonces en modo exacto con una precisión infinita y permite realizar los cálculos paso a paso.
Cálculo numérico, cuando se utilizan las funciones del directorio MTH de
·
la tecla MATH,.en la pantalla programación. Se trabaja entonces en modo aproximado, con una precisión de 10-12.
Ejemplo:
HOME
o desde las Aplets o en
Si estamos en Radians en ARG (1 + i) tiene un valor de 0.785398163397 Mientras que en CAS, donde siempre se trabaja en radianes: ARG (1 + i) tiene un valor de p/4
HOME
:
2.2 Variable Real
Cuando utilizamos funciones del cálculo simbólico, se trabaja con variables simbólicas (es d ecir, variab l es que no contienen ningún valor)
El nombre de la variable simbólica contenida en VX se llama variable real y generalmente suele ser X.
La expresión de algunas funciones depende de l a variable real, por ejemplo la función DERVX efectúa una deriva da en función a la variable real.
Así, DERVX (2 * X + Y) = 2 si·VX = X,
y DERVX (2 * X + Y) = 1·si VX = Y.
El Teclado Y el CAS 23
2.3 ¿Cómo Realizar un Calculo Simbólico?
La HP 40G ha sido creada para utilizar las funciones de cálculo simbólico desde el editor de ecuaciones.
Para abrir el editor de ecuaciones pulsar CAS del menú de la pantalla Para salir del editor de ecuaciones pulsar ON y regresaremos a la pantalla
HOME
.
También se puede utilizar el cálculo simbólico desde la pantalla tomando algunas precauciones (véase 2.6)
En los capítulos siguientes se aprenderá a utilizar las funciones del CAS.
HOME
HOME
2.4 El CAS Desde el Editor de Ecuaciones
El editor de ecuaciones le permitirá escribir como Ud. lo haría sobre un papel las expresiones que quiera simplificar, descomponer, derivar, integrar, etc…
Se trata de un editor con un menú que contiene otros directorios:
1.
El directorio TOOL contiene los siguientes comandos,
expr.,Change font
Cursor mode permite pasar a modo cursor (véase 3.1.4)
·
Edit expr. permite editar la expresión seleccionada, y así poder
·
modificarla.
Change font permite elegir escribir la expresión en letra pequeña o letra
·
grande (esta opción se encuentra siempre disponible)
3. El directorio
algebraicos: descomposición, desarrollos, simplificaciones, substituciones…
ALGB
contiene funciones para la realización de cálculos
Cursor mode,Edit
.
4. El directorio
cálculo diferencial: derivación, integración, desarrollo
5. El directorio
nuevo una expres ión de otra manera.
6. El directorio
expresiones trigonométricas.
7. El directorio
ecuaciones, sistemas lineales y ecuaciones diferenciales.
24 El Teclado Y el CAS
DIFF&INT
REWRITE
TRIG
SOLVE
contiene funciones que permiten realizar el
contiene funciones que permiten escribir de
contiene funcio nes que permiten transformar
contiene funciones que permiten resolver
Ud. encontrará en el capítulo 3, cómo escribir una ecuación en el editor de ecuaciones, cómo seleccionar una sub-expresión y cómo acceder a las funciones del CAS.
Ud. encontrará en el capítulo 4, todas las funciones del cálculo simbólico contenidos en los diferentes directorios con un ejemplo.
No obstante Ud. podrá siempre consultar la ayuda en línea con
SYNTAX
( utilice
) (véase 2.5.4), para obtener ayuda de otras funciones disponibles
SHIFT MATH (CMDS)
para introducirlas (véase 2.5.2.)
SHIFT 2
2.5 Teclado Desde el Editor de Ecuaciones
Las teclas que vamos a explicar a continuación tienen diferente función si se utilizan desde el editor de ecuaciones o desde la pantalla uso fuera del editor de ecuaciones tendrá que consultar la sección 2.7 y/o consultar el manual del usuario.
2.5.1 TECLA MATH
La tecla MATH, pulsada desde el editor de ecuaciones visualiza las funciones útiles del cálculo simbólico. Estas funciones se encuentran en los siguientes directorios o categorías:
Los cinco directorios anteriores (véase 2.4)
·
ALGEBRA DIFF&INT REWRITE TRIG SOLVE El directorio Complex…contiene funciones que permiten trabajar con número s
complejos El directorio Constant…( e i 8 pi)
El directorio Integer…contiene las funciones del cálculo aritmético.
·
El directorio Hypbolic…contiene las funciones hiperbólicas.
·
HOME
. Para ver su
El directorio Modular…contiene las funciones que permiten realizar
·
cálculos en Z/pZ o en Z/pZ[ X], siendo el valor contenido en la variable MODULO.
El directorio Polynom…contiene las funciones que permiten realizar
·
cálculos con polinomios.
El directorio Test…contiene:
·
ASSUME UNASSUME ( para realizar hipótesis de los parámetros y así poder modificar la variable REALASSUME véase 3.3.3)
El Teclado Y el CAS 25
IFTE (para escribir una función algebraica con el mismo resultado que con un IF THEN ELSE)
Se puede consultar la sección 4.1.8. para obtener la lista de las funciones existentes en los directorios.
2.5.2 TECLAS SHIFT MATH (CMDS)
La combinación de estas teclas abre el catálogo de todas las funciones del cálculo simbólico que se pueden utilizar desde el editor de ecuaciones. De esta manera, las funciones que no se localicen en otro lugar, pueden ser llamadas desde este menú, lo que evita que Ud. tenga que teclearlas en modo ALPHA.
2.5.3 TECLA VARS
Esta tecla pulsada desde el editor de ecuaciones, nos muestra los nombres de las variables definida s e n e l CAS.
Hay que señalar que namVX contiene el nombre de la variable real. Para ver el contenido de una variable basta con seleccionar su nombre y pulsar
F2, VIEW del menú principal. Para modificar el contenido de una variable hay que seleccionar el nombre de
esa variable y pulsar F3, EDIT del menú principal. En el menú principal: PURGE que permite borrar una variable existente. RENAME que permite cambiar el nombre de una variable existente NEW que permite definir una nueva variable, para ello , hay que introduc ir el
contenido (object) y su nombre (name). Para más información vea la sección 3.3.
2.5.4 TECLAS SHIFT 2 (SYNTAX)
Desde el editor de ecuaciones, la combinación de las teclas
SYNTAX
( CAS seleccionada, este menú propone la lista de las funciones que se pueden utilizar desde el editor de ecuaciones. Seleccionando la función deseada y tecleando OK nos aparece la ayuda de esa función.
Si en el editor hay una función del CAS seleccionada, por ejemplo FACTOR (45), el menú CAS HELP ON abre directamente la ayuda en la página de FACTOR. La ayuda co nsiste en una descripción resumida del comando, un
26 El Teclado Y el CAS
) abre el menú CAS HELP ON. Si en el editor no está la función del
SHIFT 2
ejemplo y la respuesta. Ud. puede llevar cada ejemplo al editor de ecuaciones
con ECHO del menú, y a continuación puede ser usado o modificado. En los ejemplos de la ayuda, hemos elegido como variable real VX = X, sino
es el caso el ejemplo será automáticamente transformado, teniendo en cuenta su VX, durante la transferencia hecha por ECHO.
También tiene Ud. la posibilidad de ver directamente la ayuda de un comando señalando en SEE: con SEE1, SEE2…del menú principal.
2.5.5 TECLA HOME
La tecla historia del CAS.
La historia de los cálculos realizados en el CAS y la historia de los cálculos realizados en
HOME
, pulsada desde el editor de ecuaciones, permite un acceso a la
HOME
son distintos.
Al igual que ocurría en la historia de en la izquierda de la pantalla y los resultados a la derecha. Con la flecha a la derecha podemos acceder y visualizar la historia.
Con ENTER o ECHO, del menú, se puede copiar un resultado anterior o un comando ya ejecutado.
HOME
, los cálculos a realizar se sitúan
2.5.6 TECLAS SHIFT SYMB
Desde el editor de ecuaciones la combinación de las teclas: SHIFT SYMB (SETUP) es análoga a CFG (la primera opción de los menús
ALGB etc… del menú principal véase 4.1.1) Lo que le permite a Ud. precisar: El nombre de la variable contenida en VX, tecleando su nombre delante de
Indep var,
El valor de MODULO, tecleando su valor delante de Modulo.
·
Si Ud. quiere trabajar en modo exacto (o en modo aproximado si marca
·
Approx con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo real (o en modo complejo si marca
·
Complex con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo directo (o en modo paso a paso si marca
·
Step/Step con CHK del menú)
Si sus polinomios están escritos en potencias decrecientes ( o crecientes si
·
marca Incr Pow con CHK del menú)
El Teclado Y el CAS 27
Si Ud. quiere prohibir los factores numéricos (o autoriza los factores
·
numéricos si marca Num Factor con CHK del menú)
Si Ud. quiere trabajar en modo no riguroso (o en modo riguroso si marca
·
Rigourous con CHK del menú, para no olvidar los valores absolutos!)
Se valida con OK o ENTER.
2.5.7 TECLA SHIFT
Desde el editor de ecuaciones las teclas: SHIFT, (MEMORY) hacen el papel del “undo” Es muy útil cuando uno se equivoca, ya que permite anular el último comando.
2.5.8 TECLA PLOT
Cuando Ud. pulsa PLOT, desde el editor de ecuaciones, le aparecerá un cuadro de diálogos preguntándole si quiere trazar una función, una curva paramétrica o una curva polar.
Según lo que Ud. seleccione, la expresión seleccionada será copiad a en el Aplet correspondiente, en el lugar que Ud. haya especificado como destino.
CUIDADO: Esto indica que la variable real es también la variable de la función que se va a representar, ya que durante la copia, la expresión es evaluada y la variable real (contenida VX) será cambiada por X,T o naturaleza del gráfico.
VHJXQOD
CUIDADO: Si la función depende de un parámetro, es preferible darle un valor a ese parámetro antes de pulsar PLOT. Si de todas las formas Ud. desea que la expresión paramétrica sea copiada con su parámetro, el nombre de dicho parámetro debe ser una letra diferente a X,T,
Si la expresión seleccionada contiene valores reales:
Ud. puede seleccionar el Aplet Function o el Aplet Polar, y el gráfico será
·
entonces de tipo: Function o Polar.
Si la expresión seleccionada contiene valores complejos:
Ud. debe seleccionar el Aplet Parametric, y el gráfico será entonces de
·
tipo: Parametric
Si Ud. elige:
El Aplet Function, La expresión seleccionada será copiada en la función Fi
·
elegida, y la variable real será transformada en X durante la copia.
28 El Teclado Y el CAS
SDUDTXHQRKD\DFRQIXVLón.
El Aplet Parametric, la parte real y la parte imaginaria de la expresión
·
seleccionada serán copiadas en las funciones Xi, Yi elegidas y la variable real será transformada en T durante la copia.
El Aplet Polar, La expresión selección será copiada en la función Ri
·
elegida y la variable real será transformada en
GXUDQWHODFRSLD
2.5.9 TECLA NUM
Si desde el editor de ecuaciones, pulsamos NUM la expresión marcada es reemplazada por una aproximación numérica.
NUM lo transforma al modo aproximado. SHIFT NUM realiza la operación inversa, es decir, lo transforma a modo
exacto.
2.5.10 TECLA VIEWS
Cuando pulsamos VIEWS desde el editor de ecuaciones la expresión marcada puede visualizarse completamente desplazándonos con el cursor, o bien con las
flechas < y >. Para volver al editor de ecuaciones pulsemos OK en el menú.
2.5.11 ABREVIATURAS CON EL TECLADO
Desde el editor de ecuaciones, Ud. puede encontrar en el teclado las siguientes abreviaturas:
SHIFT 0 para 8 SHIFT 1 para i
6+,)7SDUD
SHIFT 5 para < SHIFT 6 para >
SHIFT 8 para SHIFT 9 para
El Teclado Y el CAS 29
2.6 El CAS Desde Home
Ud. puede utilizar di rectamente algunas funciones desde la pantalla tomando algunas precauciones:
Usar las funciones de cálculo simbólico que se encuentran en el CAS del
·
menú principal de la tecla MATH (pulsando desde la pantalla variable real se convierte automáticamente en la variable S1, por ejemplo:
DERVX (S12 – 4 * S2) = 2 * S1
Usar las variables S1, S2,…S5 como variables simbólicas.
·
CUIDADO: Algunos cálculos serán realizados en modo aproximado debido a la ambigüedad entre los números reales y enteros en comando XQ permite convertir un argumento aproximado en argumento exacto, en el ejemplo visto en el apartado 2.1, desde la pantalla también 2.7.1. y 2.7.2.):
HOME
. El uso del
HOME
HOME
HOME
). La
(véase
ARG (XQ(1 + i 

2.7 Teclado Desde Home
2.7.1 TECLA MATH
Esta tecla abre el menú de las funciones matemáticas. Si se pulsa desde la pantalla
funciones matemáticas (numéricas) clasificadas por temas, ya que la opción MTH del menú (tecla F1) se encuentra activada por defecto.
Si marcamos CAS del menú de esta ventana (tecla F3) encontraremos los mismos directorios que cuando pulsábamos la tecla MATH desde el editor de ecuaciones, de esta manera se accede a las funciones de cálculo simbólico clasificadas por temas y utilizables desde la pantalla desde la pantalla
HOME
2.7.2 TECLA SHIFT 2 (SYNTAX)
La combinación de las teclas línea de comando. Ud. tendría que completar esta línea con el nombre del comando o con el nombre de la función del CAS de la cual Ud. quiere obtener la ayuda. Puede introducir el nombre de la función del CAS con MATH CAS, pero debe quitar los paréntesis.
Por ejemplo: HELPWITH DERVX le permite abrir la ayuda del CAS en DERVX.
HOME
abre una ventana que contiene las
HOME
(no olvidar que
, las únicas variables simbólicas son S1, S2…S5)
SHIFT 2 (SYNTAX
) coloca HELPWITH en la
30 El Teclado Y el CAS
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