Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS, ALGEBRA FX 1.0 PLUS User Manual [de]

ALGEBRA FX 2.0 PLUS

FX 1.0 PLUS

Bedienungsanleitung, Teil 2

G

http://world.casio.com/edu_e/

CASIO ELECTRONICS CO., LTD.
Unit 6, 1000 North Circular Road,
London NW2 7JD, U.K.

Wichtig!

Bitte bewahren Sie Ihre Anleitung und alle Informationen
griffbereit für spätere Nachschlagzwecke auf.

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ALGEBRA FX 2.0 PLUS

FX 1.0 PLUS

(Weitere Menüs und Funktionen)

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20010901

1

Inhalt

Inhalt

Kapitel 1 Statistische Schätz-, Test- und Analyseverfahren (STAT)

1-1 Weitere Funktionen im STAT-Menü .................................................. 1-1-1

1-2 Statistische Testverfahren (TEST) .................................................... 1-2-1

1-3 Vertrauensintervalle (INTR).............................................................. 1-3-1

1-4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)........................................... 1-4-1

Kapitel 2 Finanzmathematik (TVM)

2-1 Vor dem Ausführen finanzmathematischer Berechnungen .............. 2-1-1

2-2 Einfache Kapitalverzinsung .............................................................. 2-2-1

2-3 Kapitalverzinsung mit Zinseszins ..................................................... 2-3-1

2-4 Geldflußberechnungen (Cash-Flow, Investitionsrechnung) ............. 2-4-1

2-5 Tigungsberechnungen (Amortisation) .............................................. 2-5-1

2-6 Zinssatz-Umrechnungen .................................................................. 2-6-1

2-7 Herstellungskosten, Verkaufspreis, Gewinnspanne ......................... 2-7-1

2-8 Berechnung von Zinstagen (Datumsberechnungen)........................ 2-8-1

2-9 Abschreibungsberechnungen (Amortisation) ................................... 2-9-1

2-10 Wertpapieranalyse (Zinsanleihen, Obligationen, ...) ...................... 2-10-1

2-11 TVM-Grafik (weitere grafische Darstellungen) ............................... 2-11-1

Kapitel 3 Differenzialgleichungen (DIFF EQ)

3-1 Zur Lösung von Aufgaben im DIFF EQ - Menü ................................ 3-1-1

3-2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung ................................................. 3-2-1

3-3 Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung .................................... 3-3-1

3-4 Differenzialgleichungen N-ter Ordnung ............................................ 3-4-1

3-5 Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung ........................... 3-5-1

Kapitel 4 EA-100 Controller (E-CON)

4-1 Überblick zum E-CON-Menü ............................................................ 4-1-1

4-2 Einrichten des EA-100 (SET UP) ..................................................... 4-2-1

4-3 SET UP - Speicher (Konfigurations-Speicher) ................................. 4-3-1

4-4 SET UP - Programm-File (Konfigurations-Programm) ..................... 4-4-1

4-5 Durchführung einer Datenerfassung ................................................ 4-5-1

Anhang

α-1 Allgemeiner Index ................................................................................α-1

20010901

Kapitel

Statistische Schätz-, Test­und Analyseverfahren (STAT)

In der Bedienungsanleitung zum ALGEBRA FX 2.0 PLUS /
FX 1.0 PLUS wurden vorrangig die beschreibende Statistik,
d.h. die elementare Datenauswertung, statistische Grafiken und
verschiedene Regressionsmodelle, behandelt und Wahrschein­lichkeiten mithilfe der Normalverteilung berechnet. In diesem
Kapitel werden ergänzend folgende Fragestellungen betrachtet:

1

•Mittlerer quadratischer Fehler in Regressionsmodellen

•Parametertests zur Überprüfung statistischer Hypothesen

•

Varianz- und Korrelationsanalyse, Tests in Kontingenztafeln

•Vertrauensintervalle für unbekannte Parameter

•Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

1-1 Weitere Funktionen im STAT-Menü

1-2 Statistische Testverfahren (TEST)

1-3 Vertrauensintervalle (INTR)

1-4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)

20010901

MSE =

Σ

1

n – 2

i=1

n

(yi – (axi+ b))

2

MSE =

Σ

1

n – 3

i=1

n

(yi – (ax

i

+ bxi+ c))

2

2

MSE =

Σ

1

n – 4

i=1

n

(yi – (ax

i

3

+ bx

i

+ cx

i

+d ))

2

2

MSE =

Σ

1

n – 5

i=1

n

(yi – (ax

i

4

+ bx

i3

+ cx

i

+ dx

i

+ e))

2

2

Weitere Funktionen im STAT-Menü

1-1-1

1-1 Weitere Funktionen im STAT-Menü

uu

u Funktionstasten im STAT-Eingangsbildschirm

uu

Nachfolgend sind weitere Funktionstasten zum Öffnen entsprechender Untermenüs aufgeführt,
die Sie im Eingangsbildschirm (Listeneditor) des STAT-Menüs vorfinden.

Sie können eine der folgenden Funktionstasten drücken, die einem neu hinzugekommenen
Untermenü zu weiterführenden statistischen Fragestellungen entspricht.

• 3(TEST) ... Statistische Testverfahren (ab Seite 1-2-1 beschrieben)

• 4(INTR) ... Vertrauensintervalle (ab Seite 1-3-1 beschrieben)

• 5(DIST) ... Wahrscheinlichkeitsverteilungen (ab Seite 1-4-1 beschrieben)

Die Funktionen SORT und JUMP finden Sie im TOOL-Untermenü (6(g)1(TOOL)).

uu

u Berechnung des Bestimmtheitsmaßes (r2) und der Reststreuung (MSE)

uu

Sie können das CALC-Untermenü im STAT-Menü verwenden, um zusätzlich zu den
Regressionsanalysen das Bestimmtheitsmaß (r2) in den linearen und quasilinearen
Regressionsmodellen (z.B. auch für die quadratische, kubische oder quartische Regression)
zu berechnen. Für diese Regressionsmodelle werden auch die Reststreuungen (MSE, mittlere
quadratische Fehler) auf Grundlage einer entsprechenden Streuungszerlegung gemäß den
folgenden Formeln berechnet.

• Lineare Regression ..............

•Quadratische Regression .....

•Kubische Regression ............

•Quartische Regression .........

20010901

MSE =

Σ

1

n – 2

i=1

n

(yi – (a + b ln xi ))

2

MSE =

Σ

1

n – 2

i=1

n

(ln yi – (ln a + bxi ))

2

MSE =

Σ

1

n – 2

i=1

n

(ln yi – (ln a + b ln xi ))

2

MSE =

Σ

1

n – 2

i=1

n

(yi – (a sin (bxi + c) + d ))

2

MSE =

Σ

1

n – 2 1 + ae

-bx

i

C

i=1

n

yi –

2

Weitere Funktionen im STAT-Menü

1-1-2

• Logarithmische Regression ....

•Exponentielle Regression .......

•Potenz-Regression .................

•Sinus-Regression ...................

• Logistische Regression ...........

uu

u Berechnung eines Schätzwertes für y(x) in Regressionsgrafiken

uu

Wird im STAT-Menü eine Regressionsgrafik erzeugt, können Sie auch die Funktionstaste Y­CAL nutzen, die für die durchgeführte Regressionsanalyse die Berechnung des (geschätzten)

y-Wertes für einen bestimmten x-Wert mithilfe der ermittelten Regressionsgleichung ermöglicht.

Die Regressionsgrafik beinhaltet die grafische Darstellung der Regressionsfunktion auf Grund­lage der zuvor geschätzten Kurvenparameter mithilfe einer zweidimensionalen Stichprobe (die
entsprechenden Datenpaare liegen in verbundenen Datenlisten vor).

Nachfolgend wird das allgemeine Vorgehen zur Verwendung der Y-CAL-Funktion beschrieben.

1. Nach dem Zeichnen einer Regressionsgrafik drücken Sie die Tasten 6(g)2(Y-CAL), um
die Y-CAL-Funktion aufzurufen. Danach drücken Sie die w-Taste.

Falls sich mehrere Grafiken im Display befinden, verwenden Sie die Cursor-Tasten f und
c, um die gewünschte Regressionskurve auszuwählen, danach drücken Sie die w-Taste.

•Es erscheint ein Dialogfenster für die Eingabe des x-Wertes.

2. Geben Sie den gewünschten x-Wert ein und drücken Sie danach die w-Taste.

•Nun erscheinen die Koordinaten für x und y in der Fußzeile des Displays, wobei der Cursor
an den entsprechenden Punkt der Regressionsgrafik verschoben wird. Im SET UP - Menü
ist dazu vorher Coord: On einzustellen!

3. Drücken Sie erneut die v-Taste oder eine Zifferntaste, um das Dialogfenster für die Eingabe
eines weiteren x-Wertes zu öffnen, falls Sie eine weitere Schätzwertberechnung für y
ausführen möchten.

20010901

Weitere Funktionen im STAT-Menü

4. Nachdem Sie Ihre Schätzwertberechnungen beendet haben, drücken Sie die i-Taste, um
die Koordinatenanzeige und den Cursor vom Display zu löschen.

· Der Cursor erscheint nicht, wenn sich die berechneten Koordinaten nicht innerhalb des
Betrachtungsfensters (V-Window) befinden.

· Die Koordinaten erscheinen nicht, wenn [Off] in der Position [Coord] des [SETUP]-Menüs
voreingestellt ist.

· Die Y-CAL-Funktion ist auch in einer Kurvendarstellung aktiv, die durch Verwendung der
Funktionstaste [DefG] aktiviert wurde.

uu

u Regressionsformel-Kopierfunktion innerhalb der Regressionsrechnungs-

uu

1-1-3

Ergebnisanzeige

Zusätzlich zur normalen Kopierfunktion für Bilder (PICT), die Sie in der Ergebnisanzeige der
Regressionsberechnung oder nach dem Zeichnen einer statistischen Grafik (wie z.B. eines
Streudiagramms) vorfinden, besitzt das STAT-Menü auch eine COPY-Funktion für Formeln, so
dass Sie die im Ergebnis einer Regressionsberechnung erhaltene Regressionsformel auch in
den Grafik-Funktionsspeicher kopieren können. Um eine erhaltene Regressionsformel zu
kopieren, drücken Sie die Taste 6(COPY).

kk

k

Testverfahren, Vertrauensintervalle und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

kk

Das STAT-Menü enthält Untermenüs für die Durchführung statistischer Tests und die Berech­nung von Vertrauensintervallen sowie die Berechnung von Einzelwahrscheinlichkeiten oder Inter­vallwahrscheinlichkeiten. Sie finden die entsprechenden Erläuterungen dazu in den folgenden
Abschnitten: 1-2 Testverfahren, 1-3 Vertrauensintervalle, 1-4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

uu

u Parametereinstellungen (Vorgabewerte für statistische Aufgabenstellungen)

uu

Nachfolgend sind die beiden Methoden beschrieben, die Sie für die Parametereinstellungen
(Vorgabewerte, z.B. Hypothesen für Testverfahren, Konfidenzniveau für Vertrauensintervalle)
verwenden können.

• Auswahl einer Variante

Bei dieser Methode drücken Sie im geöffneten Funktionsmenü die Funktionstaste, welche
der zu wählenden Fragestellung entspricht (Auswahl unter mehreren Möglichkeiten).

• Direkte Werteingabe von Daten oder Kennzahlen

Bei dieser Methode geben Sie den gewünschten Parameterwert (Vorgabewert) direkt ein. In
diesem Fall können Sie nicht über eine Funktionstaste Ihre Eingabe vornehmen.

· Drücken Sie die i-Taste, um zur Listeneingabeanzeige zurückzukehren. Dabei befindet

sich der Cursor an der gleichen Position wie vor dem Beginn der Parametereinstellung.

· Drücken Sie die Tasten ! i(QUIT), um an den Anfang des Listeneditors zurückzukehren.

· Drücken Sie im geöffneten Funktionsmenü in der Position “Execute” einfach die w-Taste ohne

Betätigung der Taste 1(CALC), um die Berechnung auszuführen. Um zur Anzeige der
Parametereinstellung zurückzukehren, drücken Sie einfach die i-, A-oder w-Taste.

20010901

Weitere Funktionen im STAT-Menü

1-1-4

uu

u Gemeinsame Funktionen im STAT-Menü

uu

• Das Symbol “■” erscheint während der Ausführung einer Berechnung und während des

Zeichnens einer Grafik in der rechten oberen Ecke der Anzeige. Sie können innerhalb dieser
Zeitspanne die A-Taste drücken, um die Berechnungs- oder Zeichnungsoperation
abzubrechen (AC Break).

• Sie können die i- oder w-Taste drücken, während ein Berechnungsergebnis oder eine

Grafik im Display angezeigt wird, um in die Anzeige für die Parametereinstellung zurückzu­kehren. Wenn Sie die Tasten ! i(QUIT) drücken, können Sie an den Anfang des Listen­editors (Listeneingabeanzeige) zurückkehren.

• Sie können die A-Taste drücken, während ein Berechnungsergebnis im Display angezeigt

wird, um in die Anzeige für die Parametereinstellung zurückzukehren.

• Sie können die Tasten u 5(G↔T) nach dem Zeichnen einer Grafik drücken, um zur

Anzeige für die Parametereinstellung (G↔T Funktion) umzuschalten. Falls Sie erneut die
Tasten u 5(G↔T) drücken, können Sie zur Grafikanzeige zurückkehren.

• Die G↔T Funktion ist deaktiviert, wenn Sie in der Anzeige für die Parametereinstellung eine

Veränderung vornehmen oder wenn Sie eine u 3(SET UP) oder ! K(V-Window)
Operation ausführen.

• Sie können die Speicher- oder Rückruf-Funktion des PICT-Menüs nach dem Zeichnen einer

Grafik ausführen, indem hier ein entsprechendes Untermenü geöffnet wird.

• Die ZOOM-Funktion und die SKETCH-Funktion sind im STAT-Menü deaktiviert.

Die TRACE-Funktion ist deaktiviert, jedoch nicht im Grafikdisplay einer Zweiweg­Varianzanalyse (ANOVA). Diese Grafikanzeige kann jedoch nicht gescrollt werden.

• Nach dem Zeichnen einer Grafik, können Sie die Ergebnisspeicherfunktion verwenden, um

die Berechnungsergebnisse in einer bestimmten Liste zu speichern. Grundsätzlich werden
alle Positionen (Zahlenwerte) hintereinander abgespeichert, so wie sie angezeigt werden,
ausgenommen die erste Zeile mit dem Titel (und ggf. die Alternativhypothese).

• Mit jeder Ausführung der Ergebnisspeicherung (Save Result), werden die in der Liste

vorhandenen Daten durch die neuen Ergebnisse ersetzt.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-1

1-2 Statistische Testverfahren (TEST)

Im Untermenü TEST können Sie zwischen 10 verschiedenen Testverfahren auswählen.
Das Z-Test-Menü bietet vier oft benutzte Parametertests an, die auf einer(näherungsweise)

N(0,1)-verteilten Testgröße ( Z ) zur Beurteilung der jeweiligen Nullhypothese beruhen. Diese
ermöglichen (mit einer vorher festzulegenden Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveau) die
Beurteilung, ob z. B. eine Stichprobe den vermuteten Mittelwert einer Grundgesamtheit genau
repräsentiert oder nicht, wobei die Streuung (oder Standardabweichung) der Grundgesamtheit
(zum Beispiel die Streuung für ein bestimmtes statistisches Merkmal innerhalb der gesamten
Bevölkerung eines Landes) von früheren Tests her bekannt sein muß. Der Z-Test wird z.B. in
der Marktforschung oder zur Auswertung von Meinungsumfragen verwendet, die immer wieder
durchgeführt werden.

Der 1-Stichproben Z-Test (1-Sample Z-Test) prüft für eine (normalverteilte) Grundgesamtheit
eine Mittelwerthypothese, wenn die Grundgesamtheits-Standardabweichung bekannt ist.

Der 2-Stichproben Z-Test (2-Sample Z-Test) prüft eine Gleichheitshypothese für zwei Mittelwerte
zweier (normalverteilter) Grundgesamtheiten mittels zweier unabhängiger Stichproben, wenn
beide Grundgesamtheits-Standardabweichungen bekannt sind.

Der 1-Prop Z-Test prüft eine Hypothese über einen unbekannten Anteilswert in einer dichotomen
Grundgesamtheit auf Grundlage der Trefferquote k/n in n Versuchen.

Der 2-Prop Z-Test prüft eine Gleichheitshypothese für zwei Anteilswerte zweier dichotomer
Grundgesamtheiten auf Grundlage der jeweiligen empirischen Trefferquoten in den betrachteten
Grundgesamtheiten.

Der t-Test bietet drei oft benutzte Testverfahren und prüft z.B. die entsprechenden Mittelwert-
Hypothesen, wenn die Grundgesamtheits-Standardabweichungen unbekannt sind. Die Test­größe ist (näherungsweise) t-verteilt. Die der vermuteten (und im Test vorausgesetzten) Hypo­these (

Nullhypothese

Der t-Test wird oftmals zur Untersuchung einer Alternativhypothese verwendet. Eine Ablehnung
der Nullhypothese durch das Testverfahren spricht dann für die Alternativhypothese. Die Testent­scheidung hängt dabei vom vorzugebenden Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) ab.

Der einfache t-Test (1-Sample t-Test) prüft für eine (normalverteilte) Grundgesamtheit eine
Mittelwerthypothese, wenn die Grundgesamtheits-Standardabweichung unbekannt ist.

Der doppelte t-Test (2-Sample t-Test) prüft eine Gleichheitshypothese für zwei Mittelwerte
zweier (normalverteilter) Grundgesamtheiten mittels zweier unabhängiger Stichproben, wenn
beide Grundgesamtheits-Standardabweichungen unbekannt sind.

Der t-Test zur linearen Regression (LinearReg t-Test) untersucht die Stärke des linearen
Zusammenhanges zweier Merkmale X und Y mithilfe verbundener Datenlisten (Datenpaare)
und beurteilt gleichzeitig zwei Hypothesen: Nullanstieg im linearen Regressionsmodell bzw.
Unkorreliertheit zwischen X und Y (Korrelationsanalyse).

2

Der

χ

-Test untersucht Hypothesen (Unabhängigkeits- oder Homogenitätshypothesen in Kontin­genztafeln) auf Grundlage von zweidimensonalen Häufigkeitstafeln (Matrix der beobachteten
Häufigkeiten). Die Testgröße ist (näherungsweise)
für zwei kategoriale Variablen (z.B. Ja-Nein-Antworten auswerten) und beurteilt die
Unabhängigkeit dieser Variablen. Er könnte z.B. verwendet werden, um anhand der Befragung
von Kraftfahrern den Zusammenhang zwischen dem Verursachen von Verkehrsunfällen
(Merkmal X) und dem Beherrschen der Verkehrsregeln (Merkmal Y) zu untersuchen.

Der 2-Stichproben F-Test (2-Sample F-Test) prüft eine Hypothese zur Streuungsgleichheit
auf Grundlage von Stichproben zweier (normalverteilter) Grundgesamtheiten mithilfe einer F-
verteilten Testgröße. Er könnte z.B. verwendet werden, um die krebserregenden Effekte von

) entgegengesetzte Hypothese wird als

2

χ

-verteilt. Er untersucht z.B. Vierfeldertafeln

20010901

Alternativhypothese

bezeichnet.

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-2

mehreren vermuteten Faktoren zu untersuchen, wie z.B. den Konsum von Tabak, Alkohol, den
Vitaminmangel, hohen Kaffeekonsum, Untätigkeit, schlechte Lebensgewohnheiten usw.

Die Varianzanalyse (ANOVA) prüft z.B. die Hypothese zur Mittelwertgleichheit mehrerer (nor-
malverteilter) Grundgesamtheiten auf Grundlage entsprechender Stichproben mithilfe einer
Streuungszerlegung und einer F-verteilten Prüfgröße. Dieser Test kann z.B. verwendet werden,
um zu untersuchen, ob die Kombination verschiedener Werkstoffe oder Herstellungsverfahren
eine Auswirkung auf die Qualität und die Lebensdauer eines Endproduktes hat.

Die Einweg-Varianzanalyse (One-Way ANOVA) wird verwendet, wenn nur ein unabhängiger
Einflußfaktor A in verschiedenen Abstufungen auf die (abhängige) Variable Y wirkt.

Die Zweiweg-Varianzanalyse (Two-Way ANOVA) wird verwendet, wenn zwei unabhängige
Einflußfaktoren A und B in bestimmten Abstufungen auf ein Meßergebnis Y wirken.

Auf den folgenden Seiten werden die oben genannten statistischen Testverfahren und deren
Ergebnisdarstellungen genauer erläutert. Weitere Einzelheiten dazu können in speziellen Statistik­Lehrbüchern nachgelesen werden.

In der Eingangsanzeige des STAT-Menüs drücken Sie die Taste 3(TEST), um das Test­Untermenü zu öffnen, das die folgenden Positionen enthält.

• 3(TEST)b(Z) ... Z-Tests (vier Testvarianten, ab Seite 1-2-2)

c(T) ... t-Tests (drei Testvarianten, ab Seite 1-2-10)
d(χ2) ... χ2-Tests (ab Seite 1-2-18)
e(F) ... 2-Stichproben F-Test (ab Seite 1-2-20)
f(ANOVA) ... Varianzanalysen (ab Seite 1-2-22)

kk

k Z-Tests (Tests mit einer N(0,1)-verteilten Testgröße)

kk

uu

u Gemeinsame Funktionen der Z-Tests

uu

Sie können folgende Grafikanalysefunktion nach dem Zeichnen einer Test-Grafik verwenden.

• 1(Z) ... Zeigt den berechneten Wert der (N(0,1)-verteilten) Z-Testgröße an.

Drücken Sie die Taste 1(Z), um die berechnete Z-Testgröße z in der Fußzeile des Displays
anzuzeigen, wobei der Cursor an der entsprechenden Position der Grafik angezeigt wird (sofern
diese Stelle nicht außerhalb des Betrachtungsfensters liegt).
Im Fall eines zweiseitigen Tests werden zwei Punkte -z und z angezeigt. Verwenden Sie die
d- und e-Tasten, um den Cursor hin und her zu verschieben.
Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige der Z-Testgröße zu löschen.

• 2(P) ... Zeigt den zur berechneten Testgröße gehörenden p-Wert an. Es handelt
sich hierbei um die sogenannte kritische Irrtumswahrscheinlichkeit, die
der schraffierten Fläche unter der (Gaußschen) Glockenkurve entspricht.

Drücken Sie die Taste 2(P) , um den p-Wert in der Fußzeile des Displays anzuzeigen, ohne
dass der Cursor erscheint.
Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige des p-Wertes zu löschen.

#

Folgende Betrachtungsfenstereinstellungen
werden für das Zeichnen der Testgrafik
(Glockenkurve) verwendet.

Xmin –3,2, Xmax = 3,2, Xscale = 1,

Ymin = –0,1, Ymax = 0,45, Yscale = 0,1

# Durch die Ausführung einer Testfunktion werden

die

z- und p-Werte automatisch in den symboli-

schen Variablen Z bzw. P gespeichert.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-3

uu

u1-Stichproben Z-Test (1-Sample Z-Test)

uu

Der 1-Proben Z-Test wird verwendet, um die Mittelwerthypothese Ho: µ=

µ

o zu prüfen, wenn

die Standardabweichung σ der (normalverteilten) Grundgesamtheit bekannt ist.

Testgröße:

Z =

o –

σ

n

µ

0

o

: empirischer Stichprobenmittelwert

µ

o : hypothetischer Mittelwert

σ

: Grundgesamtheits-Standardabweichung

n : Stichprobenumfang

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

b(Z)
b(1-Smpl)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe ([Data:
List] statt [Data: Variable] eingestellt) beschrieben.

Data ............................ Art der Datenvorgabe (Liste der Stichprobendaten [List] oder

empirische Kennzahlen [Variable])

µ

.................................. Art der Alternativhypothese (“G

kritischen Bereich fest, “<
Bereich links fest, “>

µ

0” legt den einseitigen kritischen Bereich

µ

µ

0” legt den zweiseitigen

0” legt den einseitigen kritischen

rechts fest.)

µ

0 ................................ hypothetischer Mittelwert (Nullhypothese Ho:

σ

.................................. bekannte Grundgesamtheits-Standardabweichung (σ > 0)

µ=µ

o)

List .............................. Liste der Stichprobendaten (List 1 bis 20)

Freq ............................. einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste (Liste 1 bis 20)

Save Res .................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(N(0,1)-Glockenkurve)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Kennzahlenvorgabe [Data:
Variable] beschrieben, die sich von der Datenlistenvorgabe [Data: List] unterscheiden.

o .................................. empirischer Stichproben-Mittelwert

n .................................. Stichprobenumfang (positive ganze Zahl)

Nachdem Sie alle Parameter (Vorgabewerte) eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf
[Execute] und drücken danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die
Berechnung auszuführen oder eine Test-Grafik (N(0,1)-Glockenkurve) zu zeichnen.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

1-2-4

u u u u u

Beispiel Gegeben ist die Stichprobe {12.5, 11.6, 10.8, 12.8, 11.4} = List 1 (aus einer

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

normalverteilten Grundgesamtheit mit σ =1,30 ) vom Umfang
rechnen sind die statistischen Kennzahlen

z

(unter der Nullhypothese Ho: µ=
kritische Irrtumswahrscheinlichkeit p. Kann die Nullhypothese auf Grundlage
der vorliegenden Stichprobe abgelehnt werden (Irrtumswahrscheinlichkeit α =

0.05) ?

µ

G11.4

........................

Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

oo

o und x

σ

oo

µ

o

mit

µ

n -1 , sowie die Testgröße

o

=11.4, HA:

µ

z .................................. berechnete z-Testgröße

p .................................. p-Wert: p

vgl. Bedienungsanleitung zum Taschenrechner S. 6-4-5.

= P

(-|

z | ) + R (| z |

) (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit),

o .................................. empirischer Stichproben-Mittelwert

x

σ

n-1 ............................. empirische Stichproben-Standardabweichung

(Angezeigt nur für Datenlistenvorgabe (Data: List)).

n .................................. Stichprobenumfang

n

GG

G

µ

GG

= 5. Zu be-

o

, ) und die

Entscheidungsregel zum durchgeführten Test:

Für eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau α) wird bei p<α die
Nullhypothese abgelehnt (Testgröße im kritischen Bereich) und bei p≥α kein Einwand gegen
die Nullhypothese erhoben (Testgröße nicht im kritischen Bereich). In diesem Beispiel gilt
d.h. es besteht kein Einwand gegen die Nullhypothese.

# [Save Res] speichert die µ-Bedingung in

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

20010901

p≥

α

,

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-5

uu

u 2-Stichproben

uu

Der 2-Stichproben Z-Test wird verwendet, um die Hypothese Ho:

Z-Test (2-Sample Z-Test)

µ

=

µ

zur Gleichheit zweier

1

2

Mittelwerte zu prüfen, wenn die Standardabweichungen der zwei (normalverteilten)
Grundgesamtheiten bekannt sind.

Testgröße:

Z =

o1 – o

2

σ

1

+

n

1

o1 : empirischer Mittelwert der Stichprobe 1

2

o2 : empirischer Mittelwert der Stichprobe 2

2

σ

2

σ

n

1 : Standardabweichung der Grundgesamtheit 1

2

σ

2 : Standardabweichung der Grundgesamtheit 2

n1 : Umfang der Stichprobe 1
n2 : Umfang der Stichprobe 2

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

b(Z)
c(2-Smpl)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe ([Data:
List] statt [Data: Variable] eingestellt) beschrieben.

Data ...................... Art der Datenvorgabe (Liste der Stichprobendaten [List] oder

µ

1 .......................... Art der Alternativhypothese (“G

σ

1 ........................... bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit 1 (σ1 > 0)

σ

2 ........................... bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit 2 (σ2 > 0)

List(1) .................... Liste der Stichprobendaten 1

List(2) .................... Liste der Stichprobendaten 2

Freq(1) .................. einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 1

Freq(2) .................. einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 2

Save Res............... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

Execute ................. Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Kennzahlenvorgabe [Data:
Variable] beschrieben, die sich von der Datenlistenvorgabe [Data: List] unterscheiden.

empirische Kennzahlen [Variable])

µ

2” legt den zweiseitigen

kritischen Bereich fest, “<
Bereich links fest, “>

µ

2” legt den einseitigen kritischen

µ

2” legt den einseitigen kritischen Bereich

rechts fest.)

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

(N(0,1)-Glockenkurve)

20010901

20011201

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-6

o1 ................................. Mittelwert der Stichprobe 1

n1 ................................. Umfang (positive ganze Zahl) der Stichprobe 1

o2 ................................. Mittelwert der Stichprobe 2

n2 ................................. Umfang (positive ganze Zahl) der Stichprobe 2

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der folgenden Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen oder eine Test­Grafik (N(0,1)-Glockenkurve) zu zeichnen.

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

u u u u u

Beispiel

Gegeben sind die empirischen Stichprobenmittelwerte

oo

o

2

=10.0 (

n

2

oo

σ

=3.00 ). Zu be

2

µ

=

1

= 36) (aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit

rechnen sind die Testgröße z (unter der Nullhypothese Ho:

, HA:

µ

GG

G

GG

1

µ

, ) und die

2

kritische Irrtumswahrscheinlichkeit p. Kann die

µ

2

Nullhypothese auf Grundlage der ausgewerteten Stichproben abgelehnt werden
(Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05) ?
(Antwort: Ja, wegen p<α , vgl. Entscheidungsregel S. 1-2-4)

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

oo

o

1

=11.5 (

oo

n

1

= 36) und

σ

=2.40 und

1

µ

1

µ

2 ........................... Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

G

z .................................. berechnete z-Testgröße

p .................................. p-Wert: p

vgl. Bedienungsanleitung zum Taschenrechner S. 6-4-5.

= P

(-|

z | ) + R (| z |

o1 ................................. empirischer Mittelwert der Stichprobe 1

o2 ................................. empirischer Mittelwert der Stichprobe 2

x1

σ

n-1 ............................ empirische Stichproben-Standardabweichung 1

(Angezeigt nur für Datenlistenvorgabe (Data: List)).

x2

σ

n-1 ............................ empirische Stichproben-Standardabweichung 2

(Angezeigt nur für Datenlistenvorgabe (Data: List)).

n1

.................................

Umfang der Stichprobe 1

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2

# [Save Res] speichert die µ-Bedingung in

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

20010901

) (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit),

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-7

uu

u 1-Prop

uu

Der 1-Prop Z-Test wird für die Prüfung der Hypothese über einen unbekannten Anteilswert
(Prop) in einer dichotomen Grundgesamtheit benutzt (Ho: Prop = p0). Für den Test wird eine
näherungsweise N(0,1)-verteilte Testgröße Z verwendet:

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung
im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der folgenden Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen oder eine Test­Grafik (N(0,1)-Glockenkurve) zu zeichnen.

Z-Test (Z-Test für einen unbekannten Anteilswert)

x

– p

0

n

Z =

p

(1– p0)

0

n

3(TEST)

b(Z)
d(1-Prop)

............................

Prop

.................................

p0

..................................

x

..................................

n

Save Res

Execute

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

....................

.......................

Art der Alternativhypothese
(“G p0” legt den zweiseitigen kritischen Bereich fest,
“< p0” legt den einseitigen kritischen Bereich links fest,
“> p0” legt den einseitigen kritischen Bereich rechts fest.)

hypothetischer Anteilswert (0 < p0 < 1)
Anzahl der Treffer in der Stichprobe (x > 0, ganze Zahl)
Stichprobenumfang (positive ganze Zahl)
Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)
Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(N(0,1)-Glockenkurve)

p0 : hypothetischer Anteilswert
n : Stichprobenumfang

x : Trefferanzahl

Beispiel: Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW), vgl. S.1-2-4

PropG0.5 ...................... Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

p ......... p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit), z ...... berechnete Z-Testgröße,

ˆp = x/n = 2048

# [Save Res] speichert die µ-Bedingung in

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

/

4040 ....... Geschätzter Anteilswert, n ...... Stichprobenumfang.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-8

uu

u 2-Prop

uu

Der 2-Prop Z-Test wird für die Prüfung der Hypothese der Gleichheit zweier unbekannter
Anteilswerte zweier dichotomer Grundgesamtheiten benutzt (Ho: p1 = p2). Für den Test wird
eine näherungsweise N(0,1)-verteilte Testgröße Z verwendet:

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung

Z-Test (Z-Test zum Vergleich zweier unbekannter Anteilswerte)

x1 : Anzahl der Treffer in der Stichprobe 1
x2 : Anzahl der Treffer in der Stichprobe 2
n1 : Umfang der Stichprobe 1
n2 : Umfang der Stichprobe 2
ˆp :

Geschätzter Anteilswert in der Gesamt

stichprobe

im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

Z =

3(TEST)

b(Z)
e(2-Prop)

x

1

n

p(1 – p )

x

2

–

n

2

1

1

1

+

n

n

2

1

p1 ................................. Art der Alternativhypothese

(“G p2” legt den zweiseitigen kritischen Bereich fest,
“< p2” legt den einseitigen kritischen Bereich links fest,
“> p2” legt den einseitigen kritischen Bereich rechts fest.)

x1 ................................. Anzahl der Treffer in der Stichprobe 1 (x1 > 0, ganze Zahl)

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1 (positive ganze Zahl)

x2 ................................. Anzahl der Treffer in der Stichprobe 2 (x2 > 0, ganze Zahl)

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2 (positive ganze Zahl)

Save Res .................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

(N(0,1)-Glockenkurve)

-

Nachdem Sie alle Parameter (Vorgabewerte) eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf
[Execute] und drücken danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die
Berechnung auszuführen oder eine Test-Grafik (N(0,1)-Glockenkurve) zu zeichnen.

1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-9

u u u u u

Beispiel In zwei dichotomen Grundgesamtheiten wurden die Trefferanzahlen x1 = 225

und x2 = 230 erzielt (Stichprobenumfang n1 = 300, n2 = 300)
sind die statistischen Kennzahlen ˆp 1 , ˆp 2 und ˆp , sowie die Testgröße z (unter
der Nullhypothese
scheinlichkeit p. Kann die Nullhypothese auf Grundlage der vorliegenden
Stichprobe abgelehnt werden (Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05) ?

Ho: p1 = p2 und HA: p1 > p2

) und die

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

. Zu be

rechnen

kritische Irrtumswahr-

p1>p2 ............................ Art der Alternativhypothese (einseitiger kritischer Bereich,

rechtsseitig)

z .................................. berechnete z-Testgröße ( - 0.4768216 )

p .................................. p-Wert: p

lichkeit, , vgl. Bedienungsanleitung S. 6-4-5)

= R (z ) =

0.68325542 (kritische Irrtumswahrschein-

ˆp 1 ................................. Geschätzter Anteilswert der Grundgesamtheit 1

( 225 / 300 = 0.75 )

ˆp 2 ................................. Geschätzter Anteilswert der Grundgesamtheit 2

( 230 / 300 = 0.76666666... )

ˆp .................................. Geschätzter Anteilswert für die Gesamtstichprobe

( (225+230) / (300+300) = 0.75833333...)

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1 ( 300)

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2 ( 300)

Entscheidungsregel zum durchgeführten Test:

Für eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau α , hier α = 0.05 ) wird
bei p<α die Nullhypothese abgelehnt (Testgröße im kritischen Bereich) und bei p≥α kein
Einwand gegen die Nullhypothese erhoben (Testgröße nicht im kritischen Bereich).
In diesem Beispiel gilt
d.h. auf Grund des durchgeführten Tests besteht kein Anlaß, die Nullhypothese zu gunsten der
Alternativhypothese HA: p1 > p2 abzulehnen.

# [Save Res] speichert die µ-Bedingung in

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

p≥

α

, d.h. es besteht kein Einwand gegen die Nullhypthese Ho: p1 = p2 ,

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-10

kk

t-Tests (Tests mit einer t

k

kk

uu

u Gemeinsame Funktionen des t-Tests

uu

Sie können folgende Grafikanalysefunktion nach dem Zeichnen einer Test-Grafik verwenden.

• 1(T) ... Zeigt den berechneten Wert der (tm -verteilten) t-Testgröße an.

Drücken Sie die Taste 1(T), um die berechnete t-Testgröße t in der Fußzeile des Displays
anzuzeigen, wobei der Cursor an der entsprechenden Position der Grafik angezeigt wird (sofern
diese Stelle nicht außerhalb des Betrachtungsfensters liegt).

Im Fall eines zweiseitigen Tests werden zwei Punkte -t und t angezeigt. Verwenden Sie die
d- und e-Tasten, um den Cursor hin und her zu verschieben.

Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige der t-Testgröße zu löschen.

• 2(P) ... Zeigt den zur berechneten Testgröße gehörenden p-Wert an. Es handelt
sich hierbei um die sogenannte kritische Irrtumswahrscheinlichkeit, die
der schraffierten Fläche unter der Dichtefunktion einer t-Verteilung mit

m

Freiheitsgraden entspricht. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist vom Stich-

probenumfang und dem verwendeten Testverfahren abhängig.

Drücken Sie die Taste 2(P) , um den p-Wert in der Fußzeile des Displays anzuzeigen, ohne
dass der Cursor erscheint.

Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige des p-Wertes zu löschen.

-verteilten Testgröße, m Freiheitsgrade)

m

#

Folgende Betrachtungsfenstereinstellungen
werden für das Zeichnen der Testgrafik
(Dichtefunktion einer t-Verteilung) verwendet.

Xmin = –3,2, Xmax = 3,2, Xscale = 1,

Ymin = –0,1, Ymax = 0,45, Yscale = 0,1

#Durch die Ausführung einer Testfunktion

werden die
symbolischen Variablen T bzw. P gespeichert.

20010901

t- und p-Werte automatisch in den

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-11

uu

u Einfacher

uu

t-Test (1-Stichproben t-Test, 1-Sample t-Test)

Der einfache t-Test (1-Stichproben t-Test) wird verwendet, um die Mittelwerthypothese Ho:

µ=µ

o zu prüfen, wenn die Standardabweichung

σ

der (normalverteilten) Grundgesamtheit

unbekannt ist. Für den Test wird eine (näherungsweise) tm-verteilte Testgröße t verwendet:

t =

o –

σ

x

n

n–1

µ

0

o : empirischer Stichprobenmittelwert

µ

0 : hypothetischer Mittelwert

x

σ

n-1 : Stichproben-Standardabweichung

n : Stichprobenumfang (

m = n

-1)

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

c(T)
b(1-Smpl)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe ([Data:
List] statt [Data: Variable] eingestellt) beschrieben.

Data ............................ Art der Datenvorgabe (Liste der Stichprobendaten [List] oder

empirische Kennzahlen [Variable])

µ

.................................. Art der Alternativhypothese (“G

kritischen Bereich fest, “<
Bereich links fest, “>

µ

0” legt den einseitigen kritischen Bereich

µ

0” legt den zweiseitigen

µ

0” legt den einseitigen kritischen

rechts fest.)

µ

0 ................................ hypothetischer Mittelwert (Nullhypothese Ho:

µ=µ

o)

List .............................. Liste der Stichprobendaten (List 1 bis 20)

Freq ............................. einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste (Liste 1 bis 20)

Save Res .................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(Dichtefunktion einer tm -Verteilung, glockenförmige Kurve)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Kennzahlenvorgabe [Data:
Variable] beschrieben, die sich von der Datenlistenvorgabe [Data: List] unterscheiden.

o

..................................

x

σ

n-1

.............................

n

..................................

empirischer Stichproben-Mittelwert
empirische Stichproben-Standardabweichung (x
Stichprobenumfang (positive ganze Zahl)

σ

n-1 > 0)

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen
oder eine Test-Grafik (Dichtefunktion einer t

-Verteilung, glockenförmige Kurve) zu zeichnen.

m

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-12

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

u u u u u

Beispiel Gegeben sind die empirischen Kennzahlen

einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekannten Parametern). Der
Stichprobenumfang betrug dabei
(unter der Nullhypothese Ho: µ =
kritische Irrtumswahrscheinlichkeit p. Kann die Nullhypothese auf Grundlage
der ausgewerteten Stichprobe abgelehnt werden (Irrtumswahrscheinlichkeit

= 0.05) ?

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

µ

G 11.3 ...................... Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

t

...................................

berechnete t-Testgröße (m = n-1 Freiheitsgrade)

p .................................. p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit)

o .................................. empirischer Stichproben-Mittelwert

x

σ

n-1 ............................. empirische Stichproben-Standardabweichung

n .................................. Stichprobenumfang

n

µ

oo

o = 11.52 und x

oo

= 5. Zu be

o

mit

µ

o

σ

n-1 = 0.382

rechnen sind die Testgröße

=11.3, HA:

µ

GG

G

GG

µ

o

) und die

1/2

(aus

z

α

Entscheidungsregel zum durchgeführten Test:

Für eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau α) wird bei p<α die
Nullhypothese abgelehnt (Testgröße im kritischen Bereich) und bei p≥α kein Einwand gegen
die Nullhypothese erhoben (Testgröße nicht im kritischen Bereich). In diesem Beispiel gilt
d.h. es besteht kein Einwand gegen die Nullhypothese. (D.h. der empirische Mittelwert weicht
nicht wesentlich (also nicht signifikant, nur unwesentlich) vom hypothetischen Mittelwert ab.)

# [Save Res] speichert die µ-Bedingung in

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

20010901

p≥

α

,

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-13

uu

u Doppelter

uu

Der doppelte t-Test (2-Stichproben t-Test) wird verwendet, um die Hypothese Ho:

t-Test (2-Stichproben t-Test, 2-Sample t-Test)

µ

=

µ

zur

1

2

Gleichheit zweier Mittelwerte zu prüfen, wenn die Standardabweichungen der zwei
(normalverteilten) Grundgesamtheiten unbekannt sind. Für den Test wird eine (näherungsweise)

t

-verteilte Testgröße t verwendet (Anzahl der Freiheitsgrade: m = df ):

m

Unter der Voreinstellung [Pooled: On] gilt für die Anzahl der Freiheitsgrade:

t =

xp

o1 – o

σ

n–1

2

1

1

2

+

n

n

2

1

o1 :empirischer Mittelwert der

Stichprobe 1

o2 :empirischer Mittelwert der

Stichprobe 2

x1

σ

n-1 :Standardabweichung der

Grundgesamtheit 1

x2

σ

n-1 :Standardabweichung der

Grundgesamtheit 2

df

= n1 + n2 – 2

n1 : Umfang der Stichprobe 1
n2 : Umfang der Stichprobe 2

xp

σ

n-1 : gemeinsame

Standardabweichung der
Gesamtstichprobe (wird nur
angezeigt unter der
Voreinstellung [Pooled:On].)

df :Freiheitsgrade der

Prüfverteilung

Unter der Voreinstellung [Pooled: Off] gilt für die Anzahl der Freiheitsgrade:

o1 – o

t =

df =

σ

x

1 n–1

n

C

n1–1

2

2

2

σ

x

2 n–1

+

n

2

1

2

1

(1–C )

+

n2–1

mit

2

o1 :empirischer Mittelwert der

Stichprobe 1

o2 :empirischer Mittelwert der

Stichprobe 2

x1

σ

n-1 :Standardabweichung der

Grundgesamtheit 1

x2

σ

n-1 :Standardabweichung der

Grundgesamtheit 2

n1 : Umfang der Stichprobe 1
n2 : Umfang der Stichprobe 2
df :Freiheitsgrade der

Prüfverteilung

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

c(T)

c(2-Smpl)

20010901

20011201

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-14

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe ([Data:
List] statt [Data: Variable] eingestellt) beschrieben.

Data ............................ Art der Datenvorgabe (Liste der Stichprobendaten [List] oder

empirische Kennzahlen [Variable])

µ

1 ................................. Art der Alternativhypothese (“G µ2” legt den zweiseitigen

kritischen Bereich fest, “<
Bereich links fest, “>

µ

2” legt den einseitigen kritischen

µ

2” legt den einseitigen kritischen

Bereich rechts fest.)

List(1) .......................... Liste der Stichprobendaten der 1. Stichprobe

List(2) .......................... Liste der Stichprobendaten der 2. Stichprobe

Freq(1) ........................ einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 1

Freq(2) ........................ einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 2

Pooled ......................... Streuungsgleichheit eingeschaltet ([Pooled: On]) oder

ausgeschaltet ([Pooled: Off])

Save Res .................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(Dichtefunktion einer t

-

Verteilung, glockenförmige Kurve)

df

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Kennzahlenvorgabe [Data:
Variable] beschrieben, die sich von der Datenlistenvorgabe [Data: List] unterscheiden.

o1 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 1

x1

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung (x1σn-1 > 0) der Stichprobe 1

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1 (positive ganze Zahl)

o2 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 2

x2

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung (x2σn-1 > 0) der Stichprobe 2

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2 (positive ganze Zahl)

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen
oder eine Test-Grafik (Dichtefunktion einer t

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

-

Verteilung, glockenförmige Kurve) zu zeichnen.

df

20010901

20011201

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-15

u u u u u

Beispiel Aus zwei (normalverteilten) Grundgesamtheiten, deren (unbekannte) Streu-

ungsparameter als gleich angesehen werden können, wurden die Stichproben
1 und 2 wie folgt entnommen: {105, 108, 86, 103, 103, 107, 124, 124} = List 1,
{89, 92, 84, 97, 103, 107, 111, 97} = List 2.
dabei jeweils

x1

σ

n-1, x2σn-1 und xpσn-1 sowie die Testgröße

µ

=

µ

1

, HA:

2

n

= 8. Zu be

GG

µ

G

GG

1

µ

, ) und die

2

rechnen sind die statistischen Kennzahlen o1, o2,

kritische Irrtumswahrscheinlichkeit p. Kann die

Nullhypothese auf Grundlage der ausgewerteten Stichprobe abgelehnt werden
(Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05) ?

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

µ1Gµ

2 ........................... Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

t

...................................

berechnete t-Testgröße (df = n1+n2-1 Freiheitsgrade)

p .................................. p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit)

df ................................. Freiheitsgrade der Prüfverteilung

o1 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 1

o2 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 2

x1

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung der Stichprobe 1

x2

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung der Stichprobe 2

xp

σ

n-1 ............................ gemeinsame Standardabweichung der Gesamtstichprobe (wird

nur angezeigt unter der Voreinstellung [Pooled:On].)

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2

Der Stichprobenumfang betrug

z

(unter der Nullhypothese Ho:

Entscheidungsregel zum durchgeführten Test:

Für eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau α) wird bei p<α die
Nullhypothese abgelehnt (Testgröße im kritischen Bereich) und bei p≥α kein Einwand gegen
die Nullhypothese erhoben (Testgröße nicht im kritischen Bereich). In diesem Beispiel gilt
d.h. es besteht kein Einwand gegen die Nullhypothese. (D.h. die empirischen Mittelwerte
unterscheiden sich noch nicht wesentlich (also nicht signifikant, nur unwesentlich). Bei α =
würde man jedoch die Nullhypothese wegen vermuteter Unterschiede bereits ablehnen! )

# [Save Res] speichert die

Zeile 2 (Art der Alternativhypothese) nicht ab.

µ

1-Bedingung in

20010901

p≥

α

0.10

,

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-16

uu

t-Test zur linearer Regression (LinearReg t-Test) (Korrelationsanalyse)

u

uu

Der t-Test zur linearer Regression untersucht verbundene Datenlisten des Zufallsvektors (X,

Y) und plottet alle Datenpaare (x

) in einer statistischen Grafik. Danach wird eine

i,yi

Regressioinsgerade (y = a + bx) berechnet und durch die geplottete Punktwolke gelegt. Der
Anstieg ␤ (geschätzt durch b) der Regressionsgeraden steht in unmittelbaren Zusammenhang
zum (Pearsonschen) Korrelationskoeffizienten ␳ (geschätzt durch r), so dass gleichzeitig die
Nulhypothesen "Nullanstieg" bzw. "Unkorreliertheit" untersucht werden können. Für a und b
sowie die t

-verteilte Testgröße t gelten die Formeln (Freiheitsgrade: df = n - 2):

df

a : Achsenabschnitt
b : Anstieg der Geraden
n : Stichprobenumfang

(n > 3)

r : Korrelationskoeffizient

2

r

: Bestimmtheitsmaß

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

c(T)

d(LinReg)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe
beschrieben.

β

& ρ............................ Alternativhypothese für den Anstieg β bzw. den Korrelations-

koeffizienten ρ (“G 0” legt den zweiseitigen kritischen Bereich
fest, “< 0” legt den einseitigen kritischen Bereich links fest,
“> 0” legt den einseitigen kritischen Bereich rechts fest.)

XList ............................ Liste für die x-Werte der Datenpaare

YList ............................ Liste für die y-Werte der Datenpaare

Freq ............................. einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste zu den Daten-

paaren

Save Res..................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach die nachfolgend dargestellte Funktionstaste, um die Berechnung auszuführen.

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

# Sie können für den t-Test zur linearen

Regression keine Test-Grafik zeichnen.

20010901

20011201

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-17

u u u u u

Beispiel Aus zwei (normalverteilten) Grundgesamtheiten X und Y wurden die Stichproben

1 und 2 wie folgt entnommen: {
Der Stichprobenumfang betrug dabei jeweils
Anstieg b und das Absolutglied a der Regressionsgeraden, der Korrelations­koeffizient r und das Bestimmtheitsmaß r2, sowie die Testgröße z (unter der
Nullhypothese Ho: β =
tumswahrscheinlichkeit p. Kann die Nullhypothese auf Grundlage der ausge­werteten Stichproben abgelehnt werden (Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.10)?
(Antwort: Ja, Ablehnung von
statistisch noch nicht gesichert!)

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) und 6(COPY)

β

G 0 &

ρ

G 0 .............. Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

t ................................... berechnete t-Testgröße (df = n - 2 Freiheitsgrade)

p .................................. p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit)

df ................................. Freiheitsgrade (df = n - 2 Freiheitsgrade)

a .................................. Absolutglied der Regressionsgeraden (Schittpunkt mit der y-

Achse)

b .................................. Anstieg der Regressionsgeraden

s .................................. Anpassungsfehler, Wurzel aus der Reststreuung (Restvarianz

mit n - 2 normiert).

r .................................. Korrelationskoeffizient

2

r

................................. Bestimmtheitsmaß

x

1

,

x

2

,

x

3

,

x

4

,

x

5

0 &

ρ

=

0 , HA:

β

GG

G 0 &

GG

} = List 1, {

y

n

= 5. Zu be

GG

ρ

G 0 ,) und die

GG

1

,

y

2

,

y

3

,

y

4

,

rechnen sind der

kritische Irr-

Ho wegen p<α . Mit α = 0.05 wäre die Korrelation

y

5

} = List 2.

Drücken Sie die Taste 6(COPY), während das
Berechnungsergebnis im Display angezeigt wird,
um die Regressionsgleichung in den Grafik-For­melspeicher zu kopieren.

Wenn Sie eine Liste für die Position [Resid List] im SET UP-Menü vorgegeben haben, werden
die Residuen der linearen Regressionsanalyse automatisch in der vorgegebenen Liste
abgespeichert, nachdem die Berechnung abgeschlossen ist.

# [Save Res] speichert die β & ρ -Bedingungen

in Zeile 2 (Alternativhypothese) nicht.

#Wenn die durch [Save Res] benannte Liste die

gleiche Liste ist, wie sie in der Position [Resid
List] im SET UP-Menü festgelegt wurde, erfolgt
nur eine Speicherung der [Resid List] Daten.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

j

1-2-18

2

kk

-Test (χ2-Homogenitäts- und χ2-Unabhängigkeitstest)

k χ

kk

Der χ2-Test untersucht Homogenitäts- und Unabhängigkeitshypothesen mithilfe von Kontingenz­tafeln, die im Zusammenhang mit den festgestellten Häufigkeiten

x

bei k bzw. l Merkmals-

ij

ausprägungen bestehen. Der χ2-Test wird insbesondere für dichotome Variablen (Variable mit
zwei möglichen Werten, wie Ja / Nein) verwendet, d.h. k =

l

= 2 (Vierfeldertafel).

Erwartete Häufigkeiten n : Gesamthäufigkeit
(im Fall der Unabhängigkeit (Summe aller
bzw. Homogenität):

x

)

ij

Testgröße, χ2-verteilt mit

(k-1)(l-1) Freiheitsgraden:

χ2 =

k

ΣΣ

i=1

(xij – Fij)

=1

2

F

ij

die folgende Tastenbetätigung im
STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

d(χ2)

Danach bezeichnen Sie die Matrix [Observed], welche die Daten (empirische Häufigkeiten,
Kontingenztafel) enthält, und die Matrix [Expected] für die berechneten Häufigkeiten

F

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Eingabefenster aufgeführt.

Observed .................... Name der Matrix (A bis Z), welche die beobachteten Häufig-

keiten (alles positive ganze Zahlen) enthält.

Expected ..................... Name der Matrix (A bis Z), in welcher die erwarteten Häufig-

keiten (unter der Nullhypothese, z.B. Unabhängigkeit) durch
den Rechner abspeichert werden.

Save Res..................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(Dichtefunktion einer χ

2

-

Verteilung mit df = (k-1)(l-1) )

df

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen
oder eine Test-Grafik (Dichtefunktion einer χ

2

-

Verteilung mit df = (k-1)(l-1) ) zu zeichnen.

df

.

ij

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

# Die Matrix muss mindestens zwei Zeilen mal

zwei Spalten aufweisen. Es kommt zu einem
Fehler, wenn die Matrix nur als Zeilen- oder nur
nur als Spaltenmatrix definiert ist.

#Drücken Sie die Taste 2 ('MAT), um die

bezeichneten Matrizen auch im MATRIX-Editor,
der für das Betrachten und die Bearbeitung des
Inhalts der Matrizen verwendet werden kann,
zu definieren.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-19

u u u u u

Beispiel Die Komponenten des Zufallsvektors (X,Y) entstammen aus zwei dichotomen

Grundgesamtheiten X und Y . Eine Stichprobenerhebung ergab die folgende
Kontingenztafel: Mat A = [ [
ist die Unabhängigkeit der beobachteten Merkmale X und Y. Zu berechnen
und unter Mat B abzuspeichern ist die Matrix [ [
hin sind

die Testgröße χ2 (unter der Nullhypothese Ho: P(

P(X=

x

) P(Y=

y

i

die

kritische Irrtumswahrscheinlichkeit p zu bestimmen. Kann die Nullhypothese

) für alle Indexpaare, HA: ... nicht für alle Indexpaare) und

j

auf Grundlage der vorliegenden Vierfeldertafel abgelehnt werden (Irrtums­wahrscheinlichkeit α = 0.10) ?
(Antwort: Nein, keine Ablehnung von
ausgegangen werden, dass es sich um unabhängige Merkmale handeln könnte.)

Berechnungsergebnis-Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

h

11

,

h

1 2

] [

h

21

,

h

22

] ]

, d.h. k = 2, l = 2.

F

11

,

F

1 2

] [

F

Zu untersuchen

21

,

F

22

] ].

(X,Y) =(xi,yj)

Ho wegen p≥α . Es kann also davon

Weiter-

) =

2

χ

................................. berechnete

2

χ

-Testgröße (df = 1 Freiheitsgrad)

p .................................. p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit)

df ................................. Freiheitsgrad

Sie können die folgenden Grafikanalysefunktionen nach dem Zeichnen der Test-Grafik
verwenden.

• 1(CHI) ... Zeigt die berechnete

Drücken Sie die Taste 1(CHI), um den
wobei der Cursor an der entsprechenden Stelle in der Grafik erscheint (sofern diese Stelle
nicht außerhalb des Betrachtungsfensters liegt).
Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige des

• 2(P) ... Zeigt den zur berechneten Testgröße gehörenden p-Wert an.

Drücken Sie die Taste 2(P), um den p-Wert in der Fußzeile des Displays anzuzeigen, ohne
dass der Cursor erscheint. Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige des p-Wertes zu löschen.

# Drücken Sie die Taste 6('MAT), während ein

Berechnungsergebnis angezeigt wird, um den
MATRIX-Editor aufzurufen, den Sie für die
Bearbeitung und das Betrachten des Inhalts der
Matrizen verwenden können.

# Folgende Betrachtungsfenster-Einstellungen

werden für das Zeichnen der Grafik verwendet:

2

χ

-Testgröße an.

2

χ

-Wert in der Fußzeile des Display anzuzeigen,

2

χ

-Wertes zu löschen.

Xmin = 0, Xmax = 11,5, Xscale = 2,

Ymin = –0,1, Ymax = 0,5, Yscale = 0,1

# Bei der Ausführung des Testverfahrens werden

2

der

χ

-Wert und der p-Wert automatisch in den

alphabetischen Variablen C bzw. P abge­speichert.

20010901

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-20

kk

k 2-Stichproben F-Test (2-Sample

kk

F-Test) zum Streuungsvergleich

Der 2-Stichproben F-Test prüft die Hypothese zur Gleichheit der Streuungen zweier (normal-
verteilter) Grundgesamtheiten mithilfe empirischer Stichprobenstreuungen. Der F-Test beruht
auf einer F-verteilten Testgröße mit den Freiheitsgraden n1-1 (Zähler-FG) und n2-1 (Nenner­FG).

F =

x

x

σ

1 n–1

σ

2 n–1

2

2

Führen Sie die folgende Tastenbetätigung im STAT-Eingangsmenü (Listeneditor) aus.

3(TEST)

e(F)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Datenlistenvorgabe ([Data:
List] statt [Data: Variable] eingestellt) beschrieben.

Data ............................ Art der Datenvorgabe (Liste der Stichprobendaten [List] oder

empirische Kennzahlen [Variable])

σ

1 ................................. Art der Alternativhypothese (“G σ2” legt den zweiseitigen

kritischen Bereich fest, “<
Bereich links fest, “>

σ

2” legt den einseitigen kritischen Bereich

σ

2” legt den einseitigen kritischen

rechts fest.)

List(1) .......................... Liste der Stichprobendaten 1

List(2) .......................... Liste der Stichprobendaten 2

Freq(1) ........................ einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 1

Freq(2) ........................ einfache Häufigkeiten [1] oder Häufigkeitsliste 2

Save Res..................... Listenspeicherplatz zur Speicherung der Berechnungsergeb-

nisse (Keine [None] oder Liste 1 bis 20)

Execute ....................... Führt die Berechnung aus oder zeichnet eine Test-Grafik

(Dichtefunktion einer F

df1,df2

-

Verteilung)

Nachfolgend ist die Bedeutung der einzelnen Positionen im Falle der Kennzahlenvorgabe [Data:
Variable] beschrieben, die sich von der Datenlistenvorgabe [Data: List] unterscheiden.

x1

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung (x1σn-1

>

0) der Stichprobe 1

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1 (positive ganze Zahl)

x2

σ

n-1 ............................ empirische Standardabweichung (x2σn-1

>

0) der Stichprobe 2

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2 (positive ganze Zahl)

20010901

20011201

Statistische Testverfahren (TEST)

1-2-21

Nachdem Sie alle Parameter eingestellt haben, stellen Sie den Cursor auf [Execute] und drücken
danach eine der nachfolgend dargestellten Funktionstasten, um die Berechnung auszuführen
oder eine Test-Grafik (Dichtefunktion einer Fdf1,df2 - Verteilung) zu zeichnen.

• 1(CALC) ... Führt die Berechnung aus.

• 6(DRAW) ... Zeichnet die Test-Grafik zum Testergebnis.

Beispiel: Ausgabebildschirm für 1(CALC) bzw. 6(DRAW)

σ1Gσ

2 .......................... Art der Alternativhypothese (zweiseitiger kritischer Bereich)

F .................................. berechnete F-Testgröße (df 1 = 4, df 2 = 4 Freiheitsgrade)

p .................................. p-Wert (kritische Irrtumswahrscheinlichkeit) ( p≥

α

=0.10 z.B.)

o1 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 1

(Angezeigt nur für Datenlistenvorgabe [Data: List].)

o2 ................................. empirischer Stichproben-Mittelwert der Stichprobe 2

(Angezeigt nur für Datenlistenvorgabe [Data: List].)

x1

σ

n-1 ............................ emp. Standardabweichung der Stichprobe 1 (1.9437078)

x2

σ

n-1 ............................ emp. Standardabweichung der Stichprobe 2 (2.61858741)

n1 ................................. Umfang der Stichprobe 1 (n1 = 5)

n2 ................................. Umfang der Stichprobe 2 (n2 = 5)

Sie können die folgenden Grafikanalysefunktionen nach dem Zeichnen der Test-Grafik
verwenden.

• 1(F) ... Zeigt die berechnete F-Testgröße an.

Drücken Sie die Taste 1(F), um den F-Wert in der Fußzeile des Displays anzuzeigen, wobei
der Cursor an de entsprechenden Stelle in der Grafik erscheint (sofern diese Stelle nicht
außerhalb des Betrachtungsfensters liegt).

Im Falle eines Tests mit zweiseitigem kritischen Bereich werden zwei Punkte angezeigt.
Verwenden Sie die d- und e-Taste, um den Cursor zu verschieben.

Drücken Sie die i-Taste, um die Anzeige des F-Wertes zu löschen.

• 2(P) ... Zeigt den zur berechneten Testgröße gehörenden p-Wert an.

Drücken Sie die Taste 2(P), um den p-Wert in der Fußzeile des Displays anzuzeigen, ohne
dass der Cursor erscheint. Drücken Sie die i-Taste, um den p-Wert zu löschen.

# [Save Res] speichert die

2 (Alternativhypothese) nicht ab.

# Die Betrachtungsfenstereinstellungen werden

automatisch für das Zeichnen der Grafik
optimiert.

σ

1-Bedingung in Zeile

# Bei der Ausführung des Testverfahrens werden

der

F-Wert und der p-Wert automatisch in den

alphabetischen Variablen F bzw. P abge­speichert.

20010901